huyetdao_tama

1-Cho x,y,z dương thoa mãn x+y+z=1 . TIm MAx
$
\dfrac{x^2+1}{{y^2 + 1 }} + \dfrac{y^2+1}{{z^2 + 1 }} + \dfrac{z^2+1}{{x^2 + 1}} \
$
2- Cho a,b,c,d dương thỏa mãn $a+b+c+abc=4. CM a+b+c \geq ab+bc+ca $
3- Vớivới $0 \leq x \leq 1 $TIm Max
$ x(9sqrt{1+ x^2 } + 13sqrt{1- x^2}) $
4- CMR với a,b,c thực ta có:
$ a^{2} + b^{2} + c^{2} +2abc +1 $ \geq 2(ab+bc+ca)
5- CM với mọi a.b.c thực thì:
$(2+ a^{2} )(2+ b^{2} )( 2+ c^{2} )$ \geq 9( ab+ bc+ca)

Câu 1 đề chép sai. Các số thực không âm chứ không phải dương.

Có: $ P= \sum \dfrac{x^2+1}{y^2+1} = \sum x^2+3 - \sum \dfrac{y^2(x^2+1)}{y^2+1} $

Bởi ví hiển nhiên $0\leq x^2+1; y^2+1; z^2+1 \leq 2 $

$\Rightarrow P \leq \sum x^2+3 - \sum \dfrac{y^2(x^2+1)}{2} = \dfrac{ \sum x^2- \sum x^2y^2+6}{2} \leq \dfrac{7}{2} $ ( Vì dễ dàng thấy $\sum x^2- \sum x^2y^2=1- 2 \sum xy- \sum x^2y^2 \leq 1$)


Bài 2 có nhiếu cách giải. Đây là cách giải hay của anh Cẩn.

Để ý điều kiện ta đặt $a= \dfrac{2x}{ \sqrt{(x+y)(x+z)} } ; b= \dfrac{2y}{ \sqrt{(y+x)(y+z)} } ; c=\dfrac{2z}{ \sqrt{(z+x)(z+y)} } $

Đưa bài toán về Cm:

$2 \sum\dfrac{xy}{(x+y) \sqrt{x+y)(y+z)} } - 4 \dfrac{xyz}{(x+y)(y+z)(x+z)} \leq 1$

Mà theo AM-GM ta có:

$2 \sum\dfrac{xy}{(x+y) \sqrt{x+y)(y+z)} } \leq \sum \dfrac{xy}{x+y} ( \dfrac{1}{x+z} + \dfrac{1}{y+z} )=1+4 \dfrac{4xyz}{(x+y)(y+z)(x+z)} $

Khủng khiếp wá. Thế này mà cũng dám làm. Em xin bái phục .

em nhầm đề rồi anh giải lại em hộ cái

thì cứ làm như cũ.Giả thiết thay đổi thành ab+bc+ac=1

$P= \sum \dfrac{a}{bc+1} \geq \dfrac{a+b+c}{ \dfrac{3abc}{a+b+c} +1} \geq \dfrac{a+b+c}{ \dfrac{1}{ \sqrt{3} (a+b+c)} +1} \geq \dfrac{3 \sqrt{3} }{4} $

xem hộ mik` bài này vs
cho x,y,z>0 và xyz=1
cmr : $ x^{3} + y^{3} + z^{3} $ >= x+y+z

EASY.!!!!!!!. Vì $x=x.1.1 \leq \dfrac{x^3+2}{3} $

$\Rightarrow x+y+z \leq \dfrac{x^3+y^3+z^3+6}{3} \leq \dfrac{x^3+y^3+z^3+2(x^3+y^3+z^3)}{3} =x^3+y^3+z^3$

$( x^3+y^3+z^3 \geq 3xyz=3)$

Nếu x=0 => y=0 => z=0
Nếu x $\ne$ 0 => y $\ne$ 0 => z $\ne$ 0
Với đk này hệ tương đương với:
$\left{y=\dfrac{2x}{1-x^2}\\z=\dfrac{2y}{1-y^2}\\x=\dfrac{2z}{1-z^2}\right$
Dễ thấy hàm số $f(t)=\dfrac{2t}{1-t^2}$ đồng biến trên R. Do đó suy ra x=y=z.
Thay x=y vào pt đầu thì được $x^2=-1$, pt vô nghiệm.
Vậy nghiệm duy nhất x=y=z=0

.$f(t)=\dfrac{2t}{1-t^2}$. Cái này mà đồng biến trên R ah????. Tính f'(t) lại đi nhá. Để ý là cái f(t) này giống cái công thức lượng giác $ tg2Q= \dfrac{2tgQ}{1-tg^2Q}$ .
Đặt $x=tga; y=tgb; z=tgc.$ Đưa về hệ PT lượng giác.

$\left{tgb=tg2a\\tgc=tag2b\\tga=tg2c\right$

$\Rightarrow tga=tg8a.$

$\Rightarrow ........$