Lanyes

cho a,b,c>0. Dat x= a+b+c. CMR:
$\dfrac{a}{b}$ + $\dfrac{b}{c}$ + $\dfrac{c}{a}$ $\dfrac{341x+a}{341x+b}$ +$\dfrac{341x+b}{341x+c}$+$\dfrac{341x+c}{341x+a}$

$\sum {\dfrac{a}{b}} \ge \sum {\dfrac{{341x + a}}{{341x + b}}} $
$ \Leftrightarrow \sum {\left( {\dfrac{a}{b} - \dfrac{{341x + a}}{{341x + b}}} \right)} \ge 0$
$\Leftrightarrow \sum {\dfrac{{341x(a - b)}}{{b(341x + b)}}} \ge 0$
$\sum {\dfrac{{a - b}}{{b(341x + b)}}} = (b - a)(b - c)\dfrac{{341x + b + c}}{{bc(341x + b)(341x + c)}} + {(a - c)^2}\dfrac{{341x + (a + c)}}{{ac(341x + a)(341x + c)}}$
Không mất tính tổng quát giả sử b là số nằm giữa suy ra ĐPCM

CMR : Với $\forall n$ là số tự nhiên, x là số thực dương :
$\dfrac{x + x^2 + ... + x^{2n - 1} }{ ( 1 + x^n )^2 } \leq \dfrac{2n - 1}{4}$

$n = 1 \Rightarrow OK$
Giả sử BĐT đúng với $n = k$ ta sẽ CM BĐt đúng với $n = k+1$
hay ta phải CM
$\dfrac{{x + {x^2} + ... + {x^{2k + 1}}}}{{{{(1 + {x^{k + 1}})}^2}}} \le \dfrac{{2k + 1}}{4}$
Thật vậy, ta có
$\dfrac{{x + {x^2} + ... + {x^{2k + 1}}}}{{{{(1 + {x^{k + 1}})}^2}}} \le \dfrac{{\left( {\dfrac{{2k - 1}}{4}} \right){{(1 + {x^k})}^2} + {x^{2k + 1}}}}{{{{(1 + {x^{k + 1}})}^2}}}$
Ta còn phải CM
$\dfrac{{\left( {\dfrac{{2k - 1}}{4}} \right){{(1 + {x^k})}^2} + {x^{2k + 1}}}}{{{{(1 + {x^{k + 1}})}^2}}} \le \dfrac{{2k + 1}}{4}$
Cái này khai triển rồi CM

cho các số dương CMR:
$\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{3}} \le \sqrt[3]{\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}} $

Chuẩn hóa cho ab+bc+ca=3 suy ra
$a + b + c \ge 3 $ và $ abc \le 1 \\ $
$\prod {(a + b)} = (\sum a )(\sum {ab)} - abc = 3(\sum a ) - abc \ge 8 $
$\Rightarrow \sqrt {\dfrac{{\sum {ab} }}{3}} = 1 \le \sqrt[3]{{\dfrac{{\prod {(a + b)} }}{8}}}$

Hôm trước em có đăng kí nhưng gia đình em bận việc đột xuất, không đi được, mong ban tổ chức thông cảm.

1.Họ và tên: Nguyễn Trường Sinh
2.Tuổi: 15
3.Quê quán: Quảng Trị
4.Nick trên diễn đàn (Nếu có): Lanyes
5.Đối tương (HS/SV/GV/?): HS
6.Đến từ trường (hoặc cơ quan)?: THCS Phan Đình Phùng
7.Nguyện vọng, mong ước: "cọ xát" các tiền bối
8.Số điện thoại: 0935232777
9.Email: [email protected]