Hero Math

Đây là tuyển tập 500 BDT của thầy Cao Minh Quang đựoc sưu tầm từ các cuộc thi toán trên TG và các tạp chí như TTT, TH&TT. Bạn muốn làm bài nào thì hãy nói rõ ra đi chứ, làm sao có thể đưa ra 500 bài rồi nhờ nguời khác làm đựơc.

Thi HSG vòng I năm học 2008-2009

Thời gian làm bài 120'

Bài 1 (2 điểm)
Chứng minh rằng $ (x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3 = 3(x-y)(y-z)(z-x)$

Bài 2 (3 điểm)
a) Tổng các bình phương của hai số nguyên lẻ có thể là số chính phương hay không?
b) Chứng minh rằng nếu các số nguyên a và b thỏa mãn $ 2a^2+a = 3b^2+b$ thì $a-b$ và $2a+2b+1$ đồng thời là hai số chính phương.

Bài 3 (4 điểm)
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $ x^4+x^2+10 = y^2-y$
b) Tìm tất cả các tam giác vuông có độ dài các cạnh là những số tự nhiên và số đo diện tích bằng số đo chu vi.

Bài 4 (4 điểm)
Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$
a) Chứng minh $\sqrt{2a+1}+\sqrt{2b+1}+\sqrt{2c+1} < 4$
b) Tìm GTLN của $A = \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}$

Bài 5 ( 5 điểm)
Một góc vuông xEy quay xung quanh đỉnh E của hình vuông EFGH. Cạnh Ex cắt các đường thẳng FG và GH lần lượt tại M và N. Cạnh Ey cắt các đường thẳng FG và GH lần lượt tại P và Q.
a) Cm ENP và EMQ là các tam giác vuông cân.
b) Biết QM cắt PN tại S. Gọi I và K theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng PN và QM. Tứ giác EKSI là hình gì?
c) Chứng minh đường thẳng IK cố định khi góc vuông xEy quay xung quanh điểm E.

Bài 6 (1 điểm)
Chứng minh rằng nếu x,y,z là các nghiệm của hệ phương trình
$ x+y+z=5$
$ xy+yz+xz=7$
thì $ \dfrac{1}{3} \leq x,y,z \leq 3 $

Bài 7 (1 điểm)
Cho hình lục giác đều ABCDEG. Người ta tô đỏ hai đỉnh A, D và tô xanh các đỉnh còn lại. Sau đó người ta đổi màu các đỉnh theo quy tắc sau: "Mỗi lần đổi màu phải chọn 3 đỉnh của một tam giác cân rồi đổi màu đồng thời cả ba đỉnh đó ( đỏ thành xanh, xanh thành đỏ)". Hỏi sau một số lần đổi màu các đỉnh theo quy tắc đó thì có thể thu được kết quả là đỉnh C màu đỏ còn 5 đỉnh còn lại màu xanh được ko?

Đề này không khó , chỉ có điều thời gian 120 phút thì hơi ít vì có 7 bài, tối đi học về tôi làm cho nhé bạn.

sai phần này r�#8220;i bạn ơi, phãi là $ \sqrt{x^{3}}.........$
thế mới đúng

uh, viết nhầm mà. thế thì có thể chứng minh như sau:

Vẫn đặt : $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=x,\sqrt{\dfrac{b}{c}}=y,\sqrt{\dfrac{c}{a}}=z,$

Trở về bài toán: $xyz=1$, CMR: $x^{3}+y^{3}+z^{3}\geq x^{2}+y^{2}+z^{2} ( x,y,z >0)$

Áp dụng BDT Trê-bư-sép: cho 2 dãy $x,y,z$ và $x^{2},y^{2},z^{2}$ ta có:

$3(x^{3}+y^{3}+z^{3})\geq (x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}) \geq 3\sqrt[3]{xyz}.(x^{2}+y^{2}+z^{2})$

hay $x^{3}+y^{3}+z^{3}\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}$ (xong)

Bài 1: Cho a,b,c>0.Cm:
$\sqrt {\dfrac{{{a^3}}}{{{b^3}}}} + \sqrt {\dfrac{{{b^3}}}{{{c^3}}}} + \sqrt {\dfrac{{{c^3}}}{{{a^3}}}} \ge \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a}$
Bài 2: $a,b,c \in R;(a + c)(a + b + c) < 0$
CM: ${(b - c)^2} \ge 4a(a + b + c)$

Bài 1: đặt $\dfrac{a}{b}=x,\dfrac{b}{c}=y,\dfrac{c}{a}=z.$

Bài toán trở thành: Cho $xyz=1$ và $x,y,z >0$. CMR: $x^{3}+y^{3}+z^{3}\geq x+y+z.$

Ta có: $x^{3}+1+1\geq 3x$ , tương tự $y^{3}+1+1\geq 3y$; $z^{3}+1+1\geq 3z.$

suy ra $x^{3}+y^{3}+z^{3}+6\geq 3(x+y+z) = x+y+z+2(x+y+z)$
$\geq z+y+z+2.3 \sqrt[3]{xyz}=x+y+z+6.$

hay $x^{3}+y^{3}+z^{3}\geq x+y+z.$

bài 2: Sử dung phương pháp tam thức bậc 2:
Nếu a=0 suy ra $c(b+c)<0$ suy ra $b \neq c => (b-c)^{2}>0$ => BDT đúng.

Nếu $a \neq 0$ thì xét đa thức: $F(x)=ax^{2}+(b-c)x-(a+b+c)$

Thấy rằng $F(0)=-(a+b+c), F(-1)=a+c$. Vì $F(0).F(-1)=(a+b+c)(a+c)<0$ => đa thức F(x) có 2 nghiệm phân biệt nên:

$ \delta > 0$ hay $(b-c)^{2}>4(a+c)(a+b+c)$

Đây là dạng toán quen thuộc của PT nghiệm nguyên. Cụ thể đây chính là phương pháp '' kẹp'' hay còn gọi là phương pháp khử ẩn.

Đặt $y^{3}=a$ cho dễ nhìn. suy ra $x^{2}=a^{2}-a.$

Ta có: $a^{2}<a^{2}-a<(a-1)^{2}$ khi $a<0$. hay $(a-1)^{2}<x^{2}<a^{2}$ khi $a<0.$ (1)

Mặt khác.: $(a-1)^{2}<a^{2}+a<a^{2}$ khi $a>1$ hay $(a-1)^{2}<x^{2}<a^{2}$ khi $a>1$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra khi $a<0$ hoặc $a>1$ thì PT vô nhiệm vì nó bị kẹp bởi 2 số chính phương liên tiếp suy ra $0\leq a \leq 1$
hay $a=0;1$. thử trực tiếp để tìm x,y.