Ta có 2 bổ đề sau (tương đối quen thuộc,mình xin phép ko cm ở đây )
Bổ đề 1:Cho tam giác A'B'C' với các cạnh B'C'=a',A'B'=c',C'A'=b',S là diện tích tam giác và x,y,z là các số thực dương bất kì.Khi đó:
$xa'^2+yb'^2+zc'^2\geq 4\sqrt{xy+yz+xz}S$
Bổ đề 2: Cho tam giác ABC và điểm M bất kì ,BC=a,AC=b,AB=c.Khi đó $\sum \dfrac{MA.MB}{CA.CB}\geq 1$
Back bài toán:
Áp dụng bổ đề 1 với $a'=\sqrt2,b'=sqrt3,c=2 thì S=2(2.3+3.4+4.2)-(4+9+16)=23 ,x=\dfrac{MA}{a},y=\dfrac{MB}{b},z=\dfrac{MC}{c}$,và kết hợp bổ đề 2 suy ra $dfrac{2MA}{a}+\dfrac{3MB}{b}+\dfrac{4MC}{c}\geq 2\sqrt23.$
nên max ${\dfrac{2MA}{a},\dfrac{3MB}{b},\dfrac{4MC}{c}\geq }\dfrac{2\sqrt23}{3}> \dfrac{2\sqrt6}{3}$
PSW : 3/7 điểm
- perfectstrong, hxthanh và Dung Dang Do thích