khaitam

1/a/Giải phương trình:$2\sqrt{x-1}+3\sqrt{5-x}=2\sqrt{13}$
b/Cho hàm số $y=f(x)$ với $f(x)$ là một biểu thức đại số xác định với mọi số thực $x$$\neq$0.Biết rằng:$f(x)+3f\left ( \frac{1}{x} \right )=x^{2} ,\forall x\neq 0$.Tính giá trị của$f(2)$.

$\[
\begin{array}{l}
a)\,Binh\,phuong\,hai\,ve\, \Rightarrow x = \frac{{29}}{{13}} \\
b)Do:\,f(x) + 3f\left( {\frac{1}{x}} \right) = x^2 \Rightarrow \\
+ )\,\,f\left( {\frac{1}{2}} \right) + 3f(2) = \frac{1}{4} \Rightarrow f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{4} - 3f(2)\,\, \\
+ )\,\,f(2) + 3f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 4 \\
\Rightarrow f(2) + 3\left( {\frac{1}{4} - 3f(2)\,\,} \right) = 4 \Leftrightarrow 8\,f(2) = \frac{3}{4} - 4 \Leftrightarrow f(2) = \frac{{ - 13}}{{32}} \\
\end{array}
\]$

CMR nếu $b+c\geqslant 2$ thì một trong 2 pt sau có nghiệm
$x^{2}+2bx+c=0 và x^{2}+2cx+b=0$

$\begin{array}{l}
\Delta _1^' = b^2 - c\,\,,\,\,\Delta _2^' = c^2 - b\,\, \\
\Rightarrow \Delta _1^' + \Delta _2^' \, = b^2 - c + c^2 - b\, = b^2 - 2b + 1 + c^2 - 2c + 1 + b + c - 2 \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = (b - 1)^2 + (c - 1)^2 + (b + c - 2) \ge 0\,\,\,\,\left[ {(b + c - 2) \ge 0\,\,} \right] \\
\end{array}$

Suy ra: $\Delta {'_1} + \Delta {'_2} \ge 0$ nên có ít nhất 1 trong 2 số: $\Delta {'_1},\Delta {'_2}$ không âm $\to$ Ít nhất 1 trong 2 phương trình (1) và (2) có nghiệm $\to dpcm$

Phương trình trên tương đương:$\sqrt[3]{x-5}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2x-1}-\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{3x+2}+2=0$

$\Leftrightarrow \dfrac{x-2}{\sqrt[3]{(x-5)^{2}}+\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{9x-45}} + \dfrac{2x-4}{\sqrt[3]{(2x-1)^{2}}+\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6x-3}} - \dfrac{6-3x}{4+\sqrt[3]{(3x+2)^{2}}+2\sqrt{3x+2}} = 0 \Rightarrow x=2$

Sao không thấy kết quả cuối cùng vậy! Có cách nào dễ hiểu hơn không?

Cám ơn anh Perfectstrong nhiều! Ai có cách nào gọn hơn ko xin chỉ giáo cho!

MoD: Đừng spam nhé bạn. Nên sử dụng chức năng like của diễn đàn thay cho các reply cảm ơn.

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Kẻ đường cao $AH$. Kẻ $HD \bot AC$ ($D \in AC$). Gọi $M$ là trung điểm $HD$. Chứng minh rằng $BD \bot AM$.

Gọi $BD$ cắt $ AM $ tại $ E $, cắt $AH$ tại $ F$
Dễ thấy $\Delta DHC \backsim \Delta HAB\,(g.g) $
$\Rightarrow \dfrac{{DH}}{{DA}} = \dfrac{{DC}}{{HB}}\Rightarrow \dfrac{{2MH}}{{HA}} = \dfrac{{DC}}{{\dfrac{{BC}}{2}}} = \dfrac{{2DC}}{{BC}} \Rightarrow \dfrac{{DC}}{{MH}} = \dfrac{{BC}}{{HA}}(1) $
Mà $\widehat{MHA} = \widehat{DCB}$ (cùng phụ $\widehat{DHC})(2) $
Từ $(1),(2) \Rightarrow \Delta DCB \backsim \Delta MHA\,(c.g.c)$
$\Rightarrow \widehat{DBC} = \widehat{MAH} \Rightarrow \Delta HFB\backsim \Delta EFA(g.g)$
$\Rightarrow \widehat{AEF} = \widehat{BHF} = 90^0 \Rightarrow BD \bot AM$