khaitam

1/a/Giải phương trình:$2\sqrt{x-1}+3\sqrt{5-x}=2\sqrt{13}$
b/Cho hàm số $y=f(x)$ với $f(x)$ là một biểu thức đại số xác định với mọi số thực $x$$\neq$0.Biết rằng:$f(x)+3f\left ( \frac{1}{x} \right )=x^{2} ,\forall x\neq 0$.Tính giá trị của$f(2)$.

$\[
\begin{array}{l}
a)\,Binh\,phuong\,hai\,ve\, \Rightarrow x = \frac{{29}}{{13}} \\
b)Do:\,f(x) + 3f\left( {\frac{1}{x}} \right) = x^2 \Rightarrow \\
+ )\,\,f\left( {\frac{1}{2}} \right) + 3f(2) = \frac{1}{4} \Rightarrow f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{4} - 3f(2)\,\, \\
+ )\,\,f(2) + 3f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 4 \\
\Rightarrow f(2) + 3\left( {\frac{1}{4} - 3f(2)\,\,} \right) = 4 \Leftrightarrow 8\,f(2) = \frac{3}{4} - 4 \Leftrightarrow f(2) = \frac{{ - 13}}{{32}} \\
\end{array}
\]$

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Kẻ đường cao $AH$. Kẻ $HD \bot AC$ ($D \in AC$). Gọi $M$ là trung điểm $HD$. Chứng minh rằng $BD \bot AM$.

Gọi $BD$ cắt $ AM $ tại $ E $, cắt $AH$ tại $ F$
Dễ thấy $\Delta DHC \backsim \Delta HAB\,(g.g) $
$\Rightarrow \dfrac{{DH}}{{DA}} = \dfrac{{DC}}{{HB}}\Rightarrow \dfrac{{2MH}}{{HA}} = \dfrac{{DC}}{{\dfrac{{BC}}{2}}} = \dfrac{{2DC}}{{BC}} \Rightarrow \dfrac{{DC}}{{MH}} = \dfrac{{BC}}{{HA}}(1) $
Mà $\widehat{MHA} = \widehat{DCB}$ (cùng phụ $\widehat{DHC})(2) $
Từ $(1),(2) \Rightarrow \Delta DCB \backsim \Delta MHA\,(c.g.c)$
$\Rightarrow \widehat{DBC} = \widehat{MAH} \Rightarrow \Delta HFB\backsim \Delta EFA(g.g)$
$\Rightarrow \widehat{AEF} = \widehat{BHF} = 90^0 \Rightarrow BD \bot AM$

Cho tam giác ABC vuông tại A , gọi I là giao điểm của 3 đường phân giác , biết AB = 5 cm , IC = 6 cm . Tính BC ?

Vô lý sao được!(Bạn nhầm ở chỗ kết quả lấy (1)+(2) rồi)! Sau nhiều vất vả, mình đã tìm ra lối! Bạn tham khảo nha!
Kéo dài BI cắt AC tại H. Dễ thấy $\widehat{HIC}=\widehat{IBC}+\widehat{ICB}=45^0$
Do đó $\Delta HIC \backsim\Delta IAC (g.g)\Rightarrow \dfrac{IC}{AC}=\dfrac{HC}{IC}\Rightarrow IC^2=HC.AC\Rightarrow HC=\dfrac{36}{AC}(1)$
Mặt khác:
$\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{5}{BC}\Rightarrow \dfrac{HA+HC}{HC}\Rightarrow \dfrac{5+BC}{BC}\Rightarrow \dfrac{AC}{HC}=\dfrac{5+BC}{BC}(2) $
Từ (1) và (2) $\Rightarrow \dfrac{AC^2}{36}= \dfrac{5+BC}{BC}\Rightarrow \dfrac{BC^2-5^2}{36}=\dfrac{5+BC}{BC}$
$\Rightarrow \dfrac{BC}{36}=\dfrac{1}{BC-5}\Rightarrow BC^2-5BC-36=0\Rightarrow BC=9 $
Vậy BC = 9 (cm) chứ bạn ?!!