trungdeptrai

Bài này mới thật là "Trâu Bò" nè :
Cho x,y,z dương. xyz=1.CMR: $\forall k>o $ thì BDT sau luôn đúng:
$\sum \sqrt[4]{\dfrac{x}{y+k}} \geq \dfrac{3}{ \sqrt[4]{k+1}} $

Bài này phải nói là rất khó. Để giải nó thì cần một bổ đề cũng rất chặt của anh Cẩn:
$\dfrac{{a}^{2}}{b}+\dfrac{{b}^{2}}{c}+\dfrac{{c}^{2}}{a}\geq \dfrac{6\left({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2} \right)-3\left(ab+bc+ca \right)}{a+b+c}$

Cho $x,y,z \geq 0$ và $x+y+z=3$. Chứng minh:
$ \dfrac{x}{ y^{2} +3}+ \dfrac{y}{ z^{2} +3}+ \dfrac{z}{ x^{2} +3} \geq \dfrac{3}{4} $

Ta có:
$\sum \dfrac{x}{{y}^{2}+3}=\sum \left( x-\dfrac{x{y}^{2}}{{y}^{2}+3} \right)\geq \sum \left( x-\dfrac{x{y}^{2}}{4\sqrt{y}} \right)=\sum \left(x-\dfrac{1}{4}x{y}^{\dfrac{3}{2}} \right)$
Mà ta có BĐT quen thuộc: $\sum x{y}^{\dfrac{3}{2}}\leq 3$
Chệt thật,lâu k gõ bằng Latex lần mò mãi:D

Bài 90 - Bất đẳng thức và những lời giải hay
Nhân tiện sao bạn 148 bài post mà mới biết gõ Latex sao.oh lạ nhỉ???

Cho a;b;c>0 và abc=1 Tìm max của:
$\dfrac{ab}{a^5+b^5+ab}+\dfrac{bc}{b^5+c^5+bc}+\dfrac{ca}{c^5+a^5+ca}$

Chính là BĐT IMO Shortlist, 1996

Bài 1: Cho dãy $ x_0, x_1,...,x_n $ thỏa
$ x_0 = 10^9 ; x_n= \dfrac{x_{n-1}^2+2}{2x_{n-1}} $.
Chứng minh rằng: $ 0< x_30 - \sqrt{2} <10^-30$
Bài 2: Cho dãy số $ U_0, U_1,..., U_n$ thỏa mãn đk sau:
$ U_0= \dfrac{1}{2}, U_k = U_{k-1} + \dfrac{1}{n}U_{k-1}^2$ với $ ( k=1,...n) $
Chứng minh rằng : $ 1- \dfrac{1}{n} < U_n <1$
Bài 3: Cho a,b,c>0; $ u_1=a, v_1=b, w_1=c $.
Với $ n \geq 2 $ thì $ u_n= \sqrt{v_{n-1}.w_{n-1}} ; v_n= \sqrt{u_{n-1}.w_{n-1}} ;w_n= \sqrt{u_{n-1}.v_{n-1}} $
Tìm $ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } u_n,\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } v_n,\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } w_n $

hello cậu ,lâu hông lên diễn đàn spam tí cho zui,hi...
Bài 1:hông hiểu đề.
Bài 2: Dễ thấy:
$u_k = u_{k-1}+\dfrac{1}{n}.{u^{2}_{k-1}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{u_{k-1}}-\dfrac{1}{u_k}=\dfrac{1}{n+u_{k-1}}$
dãy tăng mà $u_o=\dfrac{1}{2}$,suy ra:
$\dfrac{1}{u_{k-1}}-\dfrac{1}{u_k}<\dfrac{1}{n}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{u_0}-\dfrac{1}{u_n}<1$(thay k từ 1-n rồi cộng các BĐT vế theo vế)
$\Rightarrow u_n<1$
mà dãy tăng nên $u_k<1$
suy ra: $\dfrac{1}{u_{k-1}}-\dfrac{1}{u_k}>\dfrac{1}{k+1}$(vì $\dfrac{1}{u_{k-1}}-\dfrac{1}{u_k}=\dfrac{1}{n+u_{k-1}}$)
$\Rightarrow \dfrac{1}{u_o}-\dfrac{1}{u_n}>\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n+1}>\dfrac{n}{n+1}$
$\Rightarrow u_n>1-\dfrac{1}{n}$
bài 3.(tất cả đều xét n->+vô cùng,he,mình hông bít vít cái này:D)
Ta có:$u_n.v_n.w_n=abc$
Chứng minh bằng quy nạp,ta có:
$\dfrac{u_{n+1}}{v_{n+1}}={\left(\dfrac{a}{b} \right)}^{{\left( \dfrac{-1}{2} \right)}^{n}}$
$\Rightarrow \dfrac{u_{n+1}}{v_{n+1}}->1$ vì ${\left( \dfrac{-1}{2} \right)}^{n}->0$
Tương tự
$\dfrac{v_{n+1}}{w_{n+1}}->1$
$ \dfrac{w_{n+1}}{u_{n+1}}->1$
Có thể cùng định lý kẹp để chứng minh $u_n->\sqrt[3]{abc}$
Vậy
$u_n->\sqrt[3]{abc}$
$v_n->\sqrt[3]{abc}$
$w_n->\sqrt[3]{abc}$
------------------------------------
Chuẩn bị thi buổi cuối rồi "về quê nghỉ Tết" hehe...Chúc mọi người ăn tết dương ngon lành nha.BYE:D