Nguyễn Hà Yên

Cho tam giác ABC nhọn. Lấy H trên BC sao cho: $BH=\dfrac{BC}{3}$. S là trung điểm của AC. Biết rằng: $HS \perp AC$. CMR: BS=AB.

Kẻ AI AC , I BC
Kẻ BM AC, M AC
Xét tg ACI có BM //AI
=> AM/MC=BI/BC (Ta let)
=> AM/BI=MC/BC
Xét tg BMC, SH //BM
=> BH/BC=MS/MC ( Ta let)
=> MS/BH=MC/BC
=> MS/BH=AM/BI
tg ACI có AI//SH, S là trung điểm AC
=> SH là đtbình => HI=2BH
=> BI=BH => AM=MS
=> tg ABS cân
=> AB=BS

Tg OBM và tg OAB có chung chiều cao
=> S(BOM)/S(OAB) =BM/BA
Tương tự chứng minh S(OCN)/S(OCD)=CN/CD
chứng minh được S tg ABD= Stg DCA => Stg AOB=S tg COD
Hạ các đường cao BI, CK, AH, CE xuống MN
tg BOM và tg OAM chung OM
=> S(OBM)/S(OAM) =BI/AH = BM/AM
tương tự được CK/DE= S(OCM)/S(ODN)= CN/DN
mà BI=CK, AH=DE => BI/AH = CK/DE => BM/AM = CN/DN
=> em chứng minh rằng BM/(BM+AM) = CN/(CN+ND)( em tự chứng minh nhé )
=> BM/BA= CN/CD
=> S(BOM)/S(OAB) = S(OCN)/S(OCD)
mà Stg OAB= Stg OCD
=> S(BOM) = S(CON)
đường cao = nhau
=> OM=ON

Vì em chưa học Talet nên mới phải làm cái cách lằng nhằng vòng vo này, sau này nếu em học thì làm rất nhanh theo cách bạn ncc_3tc nêu bên trên kia là xong.

P/S: chủ nhật chị onl buổi chiều có gì cứ pm cho chị nhớ

Bài 1 :
a) AK BC=M
AI BC = N
Tg ACM có CK là phân giác và đường cao => tg ACM cân => K trung điểm AM
Chứng minh tương tự với tg ABN => I trung điểm AN
Xét tg AMN có KI là đường trung bình => IK// MN => IK//BC

b) KI AB, AC lần lượt tại D, E
=> D và E lần lượt là trung điểm AB, AC
=> tg AKC vuông có trung truyến thuộc cạnh huyền => KE=1/2 AC
và tg AIB vuông có trung tuyến thuộc cạnh huyền => ID=1/2 AB
mà DE=1/2 BC => KD= KE- DE =1/2(AC-BC)
EI=DI-DE=1/2(AB-BC)
mKI=KD+DE+EI=1/2(AC-BC+AB-BC+BC)= 1/2(AC+AB-BC)

Bài 2
MH CD = E, MK CD = F
Theo đường trung bình chứng minh được H là trung điểm ME, K trung điểm MF
=> O là tâm đường tròn ngoại tiếp tg MEF => OE=OF
Chứng minh tg OED =tg OFC
=> OC = OD

Bài 3
a) Gọi D là trung điểm BI => góc IDM = 45 độ
DM // IC ( đường trung bình )
=> góc BIC = 135 độ
=> 180 -1/2( góc B + góc C ) =135 độ
=> góc B + góc C = 90 độ
=> góc A = 90 độ

Lấy F trên AM sao cho AF=AN
=> tg AFI= tg ANI=> IE=IF => góc AFI = góc ANI
Góc A=60 độ => góc B+góc C =120 độ =2 góc A
=>góc A = góc B/2 + góc C/2
=> góc A + góc B/2 = góc B + góc C/2
góc BMC = góc ANI
=> góc AFI = góc BMC
=> góc IFM= góc IMF
=> IM=IF=IN

Được không ạ ?

trên cạnh BC của và CD của hình vuông ABCD lấy các điểm E & F sao cho EC = 2EB và FC = FD. Chứng minh rằng $\widehat{AEB} = \widehat{AEF}$

Góc AEB = góc EAD
AD EF =I
tg EFC= tg IFD( g-c-g)
=> IE= 2EF = FC^2+EC^2= [(2/3 BC)^2 +(1/2 BC)^2] = 5/3 BC ( Pitago)
tg EFC = tg IFD => EC=DI
=> AI= AD+2/3 BC= BC+2/3 BC = 5/3 BC
=> tg AEI cân
=> góc EAD= góc AEF = góc AEB