Pirates

Có 1 thời gian dài đã làm ĐHV và rất gắn bó VMF, nhưng hơn năm trở lại đây ít hoạt động. Hôm nay chợt nhớ là 1 ngày gì đó, tình cờ lên lại VMF thì hóa ra là ngày sinh nhật của diễn đàn. Chúc VMF ngày càng phát triển và kết nối được mọi con tim yêu Toán .

Anh có bản e-book của cuốn sách trên không ,có gì anh up lên cho tiện ạ,hay anh chỉ chỗ nào mua đc nó đi (em ở TPHCM)

Mình cũng sinh 94, bằng tuổi mà đừng gọi thế. Cuốn này chỉ có ebook thôi, không có bản cứng đâu, cuốn này được đánh giá là 1 trong những cuốn sách về giải tích hay nhất thế giới.
File đuôi djvu, bạn down thằng WinDjView về để đọc nhé.

Cho $\alpha, \beta$ là các số thực dương và:

$$S(\alpha, \beta, N) = \sum_{n = 2}^N n log (n) (-1)^n \prod_{k = 2}^n \dfrac{\alpha + k log k}{\beta + (k + 1) log (k + 1)}.$$

Tìm $\lim_{N \to \infty} S(\alpha, \beta, N)$.

Góp vui 2 bài...

Bài 7: Cho $a, b, c$ là ba số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

$\sum\limits_{cyc} \sqrt{\dfrac{b + c}{a}} \ge 2\left(\sum\limits_{cyc} \sqrt{\dfrac{a}{b + c}}\right).\sqrt{1 + \dfrac{(a + b)(b + c)(c + a) - 8abc}{4\sum\limits_{cyc} a(a + b)(a + c)}}.$

Bài 8: Cho $a, b, c > 0$ và $x, y \geq 1$ là các số thực. Chứng minh rằng:

$\sqrt[3]{abc} \leq \sqrt[6]{\dfrac{\left(\sum\limits_{cyc} a^2 b^2 + 2x \sum\limits_{cyc} a^2 bc\right)\left(\sum\limits_{cyc} a^2 + 2y \sum\limits_{cyc} ab\right)}{(3 + 6x)(3 + 6y)}} \leq \dfrac{1}{3} \sum\limits_{cyc} a.$

VMF đang trở lại quỹ đạo vốn có của nó!

Chưa thể nói như thế được. Mình thấy vẫn còn nhiều điều chưa tốt về forum lắm nhưng không tiện nói ra. Dù sao với những thay đổi mới này chúng ta có quyền hy vọng vào một thế hệ mới, một "version" mới của VMF. Mình vốn là một cựu mod của VMF, giờ xin chúc các new mod hoàn thành tốt nhiệm vụ của mình và giúp VMF đi lên.

Cho $m$ là số nguyên dương và $r$ là số thực ($r \geq 1$). Chứng minh:

$$\dfrac{1}{4rm} \left(\dfrac{(r + 1)^{r + 1}}{r^r}\right)^m < {(r + 1)m \choose m} < \left(\dfrac{(r + 1)^{r + 1}}{r^r}\right)^m$$

(với $z$ là số thực thì ${z \choose m}$ biểu thị $\dfrac{1}{m!}\prod_{k = 0}^{m - 1} (z - k)$.)

Chứng minh rằng hai mêtric $\rho_1, \rho_C$ trong tập tất cả các hàm liên tục $[0 , 1] \to \mathbb{R}$ là không tương đương:

$\rho_1(f , g) = \int_{0}^{1}|f(x) - g(x)|dx,$

$\rho_C(f , g) = max_{x\in[0,1]}|f(x) - g(x)|$.

So sánh hai cấu trúc topo đạt được của hai mêtric này.

Bên tạp chí AMM này không thấy bài viết nào kể từ năm 11/2006 rồi. Hôm nay em post mấy đề toán của tháng 4/2010, mọi người giải thử...

 monthly_apr_2010.pdf   93.7K   947 Số lần tải

Cho $m, n$ là các số không âm. Gọi $a_{m, n}$ là hệ số của $x^n$ trong khai triển đa thức $(1 + x + x^2)^m$. Chứng minh với $k$ bất kì không âm, ta có:

$$0 \leq \sum\limits_{i=0}^{{\left[\dfrac{2k}{3}\right]}} a_{k - i, i} (-1)^i \leq 1$$

Các lớp THCS

Bài T1/394. Tìm các số tự nhiên $x, y$ biết rằng:
$(2^x + 1)(2^x + 2)(2^x + 3)(2^x + 4) - 5^y = 11879$

Bài T2/394. Cho $n$ là số nguyên dương và kí hiệu $Ư(n) =$ {$d_1; d_2; ...; d_m$} là tập hợp tất cả các ước số nguyên dương của $n$. Chứng minh rằng:
$d^{2}_1 + d^{2}_2 + ... + d^{2}_m \leq n^2 \sqrt{n}$

Bài T3/394. Chứng minh rằng:
$\dfrac{1}{a^4 (a + b)} + \dfrac{1}{b^4 (b + c)} + \dfrac{1}{c^4 (c + a)} \geq \dfrac{3}{2}$
trong đó $a, b, c$ là ba số dương thỏa mãn điều kiện $abc = 1$.

Bài T4/394. Giải phương trình:
$3\sqrt{x^3 + 8} = 2x^2 - 6x + 4$

Bài T5/394. Cho hình vuông $ABCD, M$ là điểm trên cạnh $CD (M \neq C , M \neq D)$. Qua $C$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AM$ tại $H, BH$ cắt $AC$ tại $K$. Chứng minh rằng:
a) $MK$ luôn song song với một đường thẳng cố định khi $M$ di động trên cạnh $CD$.
b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $ADMK$ nằm trên một đường thẳng cố định.

Các lớp THPT

Bài T6/394. Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $abc = 1$. Chứng minh rằng:
$\dfrac{1}{\sqrt{a^3 + 2b^3 + 6}} + \dfrac{1}{\sqrt{b^3 + 2c^3 + 6}} + \dfrac{1}{\sqrt{c^3 + 2a^3 + 6}} \leq 1$

Bài T7/394. Xét các tam giác $ABC$ có $A < B < C < \dfrac{\pi}{2}$. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$M = cot^2 A + cot^2 B + cot^2 C + 2(cot A - cot B)(cot B - cot C)(cot C - cot A)$

Bài T8/394. Cho tam giác $ABC$ với $BC = a, AC = b, AB = c$. Đường thẳng $d$ đi qua tâm đường tròn nội tiếp của tam giác cắt các đường thẳng $AB, AC, BC$ lần lượt tại các điểm $M, N, P$. Chứng minh hệ thức:
$\dfrac{a}{\overline{BP}.\overline{PC}} + \dfrac{b}{\overline{CN}.\overline{NA}} + \dfrac{c}{\overline{AM}.\overline{MB}} = \dfrac{(a + b + c)^2}{abc}$

Tiến tới Olympic Toán

Bài T9/394. Cho $x, y, z$ là các số thực khác $0$, thỏa mãn các điều kiện:
$x + 2y + 3z = 5$ và $2xy + 6yz + 3xz = 8$
Chứng minh rằng:
$1 \leq x \leq \dfrac{7}{3} ; \dfrac{1}{2} \leq y \leq \dfrac{7}{6} ; \dfrac{1}{3} \leq z \leq \dfrac{7}{9}$

Bài T10/394. Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{array}{l} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = \sqrt[3]{3(x + y)} \\ 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 = 15y^4 \\ \end{array} \right.$

Bài T11/394. Tìm tất cả các hàm $f: R \to R$ thỏa mãn:
$f(f(x) + y) = f(x + y) + xf(y) - xy - x + 1$

Bài T12/394. Giả sử khối tứ diện $ABCD$ thỏa mãn điều kiện: Tất các các mặt của nó là tam giác nhọn và $BC$ vuông góc với $AD$. Gọi $h_a, h_d$ lần lượt là độ dài các đường cao kẻ từ $A, D$ xuống các mặt đối diện, còn $2\alpha$ (với $0^o < \alpha < 45^o$) là số đo nhị diện cạnh $BC$ của tứ diện đó, $d$ là khoảng cách giữa hai cạnh $BC, AD$. Chứng minh bất đẳng thức:
$\dfrac{1}{h_a} + \dfrac{1}{h_d} \leq \dfrac{1}{d.sin\alpha}$

Ngày 2

Bài 4 (6 điểm): Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $16(a + b + c) \geq \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$. Chứng minh rằng:
$\sum_{cyclic} {\dfrac{1}{(a + b + \sqrt{2(a + c)})^3}} \leq \dfrac{8}{9}$.

Bài 5 (7 điểm): Có $n$ nước, mỗi nước có $k$ đại diện $(n > k > 1)$. Người ta chia $n.k$ người này thành $n$ nhóm mỗi nhóm có $k$ người sao cho không có 2 người cùng nhóm đến từ 1 nước. Chứng minh rằng có thể chọn ra $n$ người đến từ các nhóm khác nhau và đến từ các nước khác nhau.

Bài 6 (7 điểm): Gọi $S_n$ là tổng bình phương các hệ số trong khai triển của $(1 + x)^n$. Chứng minh rằng $S_{2n} + 1$ không chia hết cho 3.

Đề chọn đội tuyển Việt Nam dự thi Toán quốc tế (TST)

Ngày 1

Bài 1 (6 điểm): Với mỗi $n$ nguyên dương, xét tập sau $T_n = [11(k + h) + 10(n^k + n^h) \mid 1 \leq k, h \leq 10]$. Tìm tất cả $n$ sao cho không tồn tại $a \neq b \in T_n$ sao cho $a - b$ chia hết cho $110$.

Bài 2 (6 điểm): Cho $\Delta ABC$ không vuông tại $A$. Trung tuyến $AM, D$ là một điểm chạy trên $AM. (O_1), (O_2)$ lần lượt là các đường tròn đi qua $D$ và tiếp xúc với $BC$ tại $B$ và $C. CA$ cắt $(O_2)$ tại $Q, BA$ cắt $(O_1)$ tại $P$.
a) Cmr tiếp tuyến tại $P$ của $(O_1)$ và tiếp tuyến tại $Q$ của $(O_2)$ phải cắt nhau, gọi giao điểm này là $S$.
b) Cmr $S$ luôn chạy trên một đường cố định khi $D$ chạy trên $AM$.

Bài 3 (8 điểm): Hình chữ nhật kích thước $1*2$ được gọi là hình chữ nhật đơn (hcnd). Hình chữ nhật $2*3$ bỏ đi 2 ô ở góc chéo nhau (tức có có 4 ô) gọi là hình chữ nhật kép (hcnk). Người ta ghép khít các hncd và hcnk được bảng $2008*2010$. Tìm số bé nhất các hcnd có thể dùng để lát được như trên.

Cho $a, b, c, x, y, z \geq 0$ thoả:

$\left\{\begin{array}{l} cy + bz = a \\ az + cx = b \\ bx + ay = c \\ \end{array} \right.$

Tìm min: $P = \dfrac{x^2}{1 + x} + \dfrac{y^2}{1 + y} + \dfrac{z^2}{1 + z}$

các bác có biết bao nhiêu tuổi thì được tham gia trại hè toán học ko?

em là lính mới nên ko biết

mong các đại ca chỉ bảo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Oh, cái này thì... già, trẻ, lớn, bé, không phân biệt gái trai đều được tham giả cả mà, bạn đừng lo, cứ tới lúc đó đăng ký và đi là được.

Tình hình thế này chắc chắn là HN rồi, chắc lỡ mất...

Thế là cuối cùng các địa điểm đều tập trung ngoài Bắc và Trung hết, trong Nam không có đâu là ứng cử viên, hic... Khó đi thế...