Pirates

Cho $\alpha, \beta$ là các số thực dương và:

$$S(\alpha, \beta, N) = \sum_{n = 2}^N n log (n) (-1)^n \prod_{k = 2}^n \dfrac{\alpha + k log k}{\beta + (k + 1) log (k + 1)}.$$

Tìm $\lim_{N \to \infty} S(\alpha, \beta, N)$.

Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R^+} \to \mathbb{R^+}$ thỏa mãn:

$\dfrac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y^2) + f(z^2)} = \dfrac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2}.$

với $w, z, y, x \in \mathbb{R^+}$ và $wx = yz$.

Tính:

$\lim_{n \to \infty}\left(\sum\limits_{k=1}^{n}(-1)^{k + 1}\sum\limits_{1 \leq i_1 < ... < i_k \leq n}\dfrac{2^k}{[(i_1 + 1)(i_2 + 1)]...[(i_k + 1)(i_k + 2)]}\right).$

Cho $A_1 (x_1 , y_1), A_2 (x_2 , y_2), ..., A_n (x_n , y_n)$ là các điểm trên mặt phẳng tọa độ, $n \geq 2$ với $M \left(\dfrac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} , \dfrac{y_1 + y_2 + ... y_n}{n}\right)$ là trọng tâm của chúng. Kí hiệu $C$ là tâm của đường tròn có bán kính nhỏ nhất $r$, trong đó chứa các điểm $A_1 , A_2 , ..., A_n$ và $d$ là khoảng cách giữa $M$ và $C$. Chứng minh rằng: $\dfrac{d}{r} \leq \dfrac{n - 2}{n}.$

Với mọi số nguyên dương $n$, chứng minh rằng:

$\left(\sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac{2(-1)^k}{(n - k)!(n + k)!}\right)^{1/n} \geq \dfrac{6}{(n + 1)(2n + 1)}.$