tranphongk33

Tìm cặp số nguyên dương x, y sao cho $\dfrac{x^3+x}{xy-1}$ là số nguyên dương.

Một cách giải:

Xét $x=1$, suy ra: $\dfrac{2}{y-1}\in\mathbb N$, từ đó có $y=2\vee y=3$.

Xét $y=1$, suy ra: $\dfrac{x^3+x}{x-1}=x^2+x+2+\dfrac{2}{x-1}\in\mathbb N$, từ đó có: $x=2\vee x=3$.

Xét $x\ge 2$ hoặc $y\ge 2$. Ta có: $(x,xy-1)=1$. Do đó:

$xy-1|x^3+x\Rightarrow xy-1|x^2+1\Rightarrow xy-1|x+y$. 

Suy ra: $x+y\ge xy-1\Rightarrow (x-1)(y-1)\le 2$. Từ đó có: $(x-1)(y-1)=1\ \vee (x-1)(y-1)=2$ suy ra: $x=y=2$ (loại) hoặc $x=2,y=3$ hoặc $x=3,y=2$.

Vậy các cặp số $(x,y)$ thỏa mãn là: $(1;2),(2;1),(1;3),(3;1),(2;3),(3;2)$.

 

ĐỀ THI OLYMPIC 30/4 MÔN TOÁN LỚP 10 NĂM 2016-2017

Bài 1: Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} 3\sqrt[3]{4(x^{2}+x)}+2\sqrt{2y^{2}-y}=3(x+y)+2\\ 2016\sqrt{y-1}+y^{2}+2=x+2y \end{matrix}\right.$

Lời giải: (cách 1)

ĐK: $y\ge 1$

Từ pt2 ta có: $2016\sqrt{y-1}+(y-1)^2=x-1$. Suy ra: $x\ge 1$.

Từ pt1 ta có: $VT=3\sqrt[3]{2.2x(x+1)}+2\sqrt{y(2y-1)}\le 2+2x+x+1+y+2y-1=3(x+y)+2=VP$

Dấu = xảy ra khi $x=y=1$. Và nó cũng là nghiệm duy nhất của hệ pt.