khacduongpro_165

Câu 9: http://www.upsieutoc...0704_112946.jpg

Đề thi chọn đội tuyển Olimpic DH Mỏ Địa Chất HN, môn giải tích (Vòng 1 - 2013)

Trần Hiệp Anh - DH Mỏ - Địa Chất Hà Nội:

Bài 1 ($3$ điểm): Tính tích phân: $I = \int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{(x+1)\sqrt{1+x^2}}$

Bài 2: ($3$ điểm): Tính giới hạn sau: $\underset{n\rightarrow +\infty}{Lim}(\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+...+\frac{2n-1}{2^n})$

Bài 3: ($3$ điểm): Tìm tất cả các giá trị của $a \in \mathbb{R}$ để hàm số: $f(x)=\left | x-1 \right |.(a^3x^2+2ax-3)$ khả vi tại $x=1$

Bài 4: ($4$ điểm): Cho hàm $f(x)$ liên tục trên $[0,1]$ , khả vi trên $(0,1)$ có $f(1)=0$ chứng minh rằng:

Tồn tại $x_0\in (0,1)$ để: $f'(x_0).x_0 + 1 = e^{-f(x_0)}$.

Bài 5: ($3$ điểm): Chứng minh hàm $f(x)$ xác định trên $R$ thỏa mãn: $f(x+1) + f(x-1) = \sqrt{2}f(x)$ là một hàm tuần hoàn và tìm một chu kì của nó.

Bài 6: ($4$ điểm): Cho $f(x)$ là hàm chẵn, liên tục trên $[-a,a] \;, a \in \mathbb{R}_*^+$ , $g(x)$ liên tục và nhận giá trị dương trên đoạn $[-a,a]$ và: $g(-x)=\frac{1}{g(x)}$, $ \forall x\in [-a,a]$.

a. Chứng minh rằng: $\int_{-a}^{a}\frac{f(x)}{1+g(x)}dx=\int_{0}^{a}f(x)dx$.

b. Tính: $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cosx}{1+\sqrt{x^2+1}-x}dx$

 

 

 

 

Môn Đại số: 

 

Câu 1: Cho $a_0$, $d\in R$ và $a_1=a_0+id$ với $\forall i=\overline{1,n}$. Hãy tính định thức sau:

 

 

 

$\Delta = \begin{vmatrix}

\end{vmatrix}$

 

Câu 2: Cho $A,B$ là các ma trận vuông cấp $n$, $(n\geq 2$, $I$ à ma trận đơn vị cấp $n$. Giả sử $AB+2012A+2013B=I$. Chứng minh rằng: $AB=BA$.

 

 

Câu 3: Cho $X$ là ma trận cấp $n$ không suy biến và có các cột là: $X_1, X_2,....,X_n$, $(n\geq 2)$.

Cho $Y$ là ma trận có các cột là $X_2, X_3, .., X_n, 0$.

a) Tìm ma trận $J$ thỏa mãn: $Y=X.J$..

 

b) Chứng minh rằng các ma trận $A=Y.X^{-1} ; B=X^{-1}.Y$ chỉ có giá tri riêng là 0 và đều có hạng bằng $n-1$.

 

Câu 4: Cho ma trận $A$ vuông cấp $n$ có tất cả các phần tử bằng $1$ hoặc $-1$. Chứng minh rằng: với $n\geq 3$ thì $\left | det(A) \right |\leq (n-1)(n-1)!$

 

Câu 5: Tìm điều kiện của $n$ nguyên dương để đa thức $P(x) = x^n +4$ phân tích được thành tích của 2 đa thức có hệ số nguyên bậc nhỏ hơn $n$.

 

Câu 6: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn: $P(x^2) - P^2(x) = 2x[x - P(x)]$

Đề kiểm tra đội tuyển OLP sinh viên Học viện Tài Chính, môn giải tích

Bùi Khắc Dương - HVTC

Câu 1: Cho dãy $(x_n)$ thỏa mãn:
$$x_1=2013 , x_{n+1}=\frac{x_{n}^{3}+3x_n+16}{x_n^2-x_n+11}$$

Tìm: $\lim_{n \to +\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i^2+7}$

Câu 2: Tìm tất cả các số $d\in (0,1)$ có tính chất: Nếu $f(x)$ là hàm tùy ý liên tục, xác định với $x\in [0,1]$ , ngoài ra: $f(0)=f(1)$ thì tồn tại các số $x_0\in[0,1-d]$ sao cho: $f(x_0)=f(x_0+d)$

Câu 3: Cho hàm $f(x)$ liên tục, khả vi trên $[0,+\infty)$ thỏa mãn: $f(0)=0$, $f'(0)>0$ và: $f"(x)> f(x)$ với $\forall x>0$.

Chứng minh: $f(x)>0$ với: $\forall x>0$

Câu 4: Cho hàm $f(x)$ khả vi, thỏa mãn: $\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}xf(x)dx=1$ với $\forall x\in [0,1]$

Chứng minh: tồn tại $c\in (0,1)$ để $f'( c )=6$

Câu 5: Cho $f,g$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn: $g'(x)=f(g(x))$.

Chứng minh: Nếu $\lim_{x \to +\infty}g(x)=c$ thì $f( c )=0$.

https://www.dropbox....vum0/vv407H-pq2

Trích: Lê Phúc Lữ bên MS!

Bài 1: Tím tất cả các hàm $f(x): R\rightarrow R$ thoả mãn:$f(f(x))+f(x)=2012.2013x$

Mặc dù đã có topic ôn thi giải tích, thế nhưng để thuận tiện cho các bạn trao đổi và thảo luận cũng như dễ tìm kiếm các dạng thì mình sẽ tách thành các topic, theo các chuyên đề. Các bạn ôn thi, có bài trao đổi có thể post lên đây!
Lưu ý: Không SPAM!

Exercise 3. Let $f:[0,1]\longrightarrow \mathbb{R}$ be a integrable function such that $\int_0^1xf(x)dx=0$. Prove that
$\int_0^1f^2(x)dx\geq 4(\int_0^1f(x)dx)^2$.



Xét $g(x)=6x-4$ rồi xét $(f(x)+\alpha\g(x))^2\geq 0$ với $\alpha=\int_{0}^{1}f(x)dx$

Mình Dương HV Tài Chính, thi giải tích!

Đề:
Cho $f(x)$ liên tục trên $[a,b]$ khả vi trên $(a,b)$, $f(x)$ không tuyến tính, CMR:
Tồn tại $\xi \epsilon (a,b)$ để $\left |f'(\xi ) \right |>\left | \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \right |$,
Bài này nếu giải theo đáp án thì không nói làm gì nhưng mà liệu có thể dùng lagrange và dùng BĐT giá trị tuyệt đối khi phản chứ không nhỉ?

Bài toán 2: Cho $f$ là một hàm liên tục và đơn ánh trên $(a,b)$. Chứng minh rằng $f$ là một hàm đơn điệu ngặt trên $(a,b)$.

P/s: Bài này đơn giản nên mọi người tham gia thảo luận nhé.

chọn 2 số $x_1,x_2$ tùy ý sao cho : $a<x_1<x_2<b$. giả sử xáy ra $f(x_1)<f(x_2)$, ta chứng minh $f(x)$ đồng biến.
Giả suwe ngược lại tồn tại 2 điểm $\alpha,\beta$ sao cho $a<\alpha<\beta<b$ nhưng $f(\alpha)\geq f(\beta)$.
Do $f(x)$ đơn ánh nên $f(\alpha)>f(\beta)$.

Xét hàm:
$G(t)= f(x_1+ t(\alpha - x_1)) - f(x_2+ t(\beta-x_2))$ với $t \epsilon [0,1]$

Khi đó $G(t)$ liên tục trên $[0,1]$
$G(0)= f(x_1)-f(x_2)<0, G(1) = f(\alpha )- f(\beta)>0$

suy ra:
Tồn tại $t_0 \epsilon (0,1)$ để $G(t_0)=0$
$\Leftrightarrow f(x_1+t_0(\alpha -x_1)) = f(x_2 + t_0(\beta-x_2))$

Mặt khác $f(x)$ đơn ánh nên $x_1+t_0(\alpha - x_1) = x_2 + t_0(\beta - x_2)$
Biến đổi ta được

$x_1=x_2$, $\alpha=\beta$
Mâu thuẫn, vậy ta có ĐPCm

Bài 5: Giả sử $f: R\rightarrow R$ là một hàm khả vi thỏa: $f(x)+f'(x)<1 (\forall x\epsilon R)$ và $f(0)=0$
CMR: $f(1)\leq \frac{e-1}{e}$ và tìm một hàm để xảy ra đẳng thức.

Câu 6. Giả sử hàm số $f$ có đạo hàm đến cấp $n$ liên tục trên $[a;b]$ và phương trình $f(x) = 0$ có không ít hơn $n$ nghiệm thuộc $[a;b]$. Chứng minh rằng:

$$\max_{x \in [a;b]}\left | f(x) \right | \leq \frac{(b-a)^n}{n!}\max_{x \in [a;b]}\left | f^{(n)}(x) \right | $$

Với mỗi $x_0\neq x_i, i=1...n$, đặt $g(x)=f(x)-f(x_0)\frac{(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)...(x_0-x_n)}$].
Ta có $g^{(n)}(x)=f^{(n)}(x)-\frac{n!f(x_0)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)...(x_0-x_n)}$ và phương trình $g(x)=0$ có $n$ nghiệm phân biệt nên tồn tại $c\in[a,b]$ sao cho $g^{(n)}( c )=0$
Hay $f^{(n)}( c )=\frac{n!f(x_0)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)...(x_0-x_n)}$], suy ra $|f(x_0)|=\frac{|f^{(n)}( c )|}{n!}(x_0-x_1)(x_0-x_2)...(x_0-x_n)\leq \frac{(b-a)^n}{n!}\max_{x \in [a;b]}\left | f^{(n)}(x) \right | $

Bởi vì $|x_0-x_i|\leq |a-b|$

CM PT $ab(x-a)(x-b)+bc(x-b)(x-c)+ca(x-c)(x-a)=0$ luôn có nghiệm với mọi a,b,c.

$f(a)f(b)f(c)=-(abc)^2.(a-b)^2.(b-c)^2.(c-a)^2<0$ nen ton tai 1 cap co tich <0 suy ra dpcm
(May khong g dc dau, se sua lai bai viet sau)

Bạn chứnh minh không gian con như vậy thì chưa đúng cho lắm, để chứng minh $W$ là không gian con thì mình nghĩ bạn nên chứng minh $\alpha X+Y$ thuộc $\mathbb{R}^3$

Theo điều kiện để một tập hợp không rỗng các véc tơ lập thành không gian con của $R^n$ thì chỉ cần:
thứ nhất X thuộc V thì kX thuộc V
thứ 2: X+Y thuộc V
Điiều kiện 1 nó hiển nhiên quá nên chỉ làm đk 2

Mong các bạn có thể giúp mình bài toán sau
Cho f liên tục [0,1] thảo f(0) = 0 và f(1) = 1
Chứng mình rằng Xo thuộc khoảng (0,1) sao cho f(Xo) = 1 - Xo
Cảm ơn các bạn trước nhé

Chọn $g(x)=f(x)+x-1$ thì $g(x)$ lên tục trên miền của $f(x)$ và $g(0)=-1<0$, $g(1)=1>0$ nên $g(0).g(1)<0$
suy ra: tồn tại $x_0\epsilon [0,1]$ sao cho $g(x_0)=0$ hay ta có đpcm