hochanh199x

Thời gian: 180 phút

Ngày thi: 02/11/2012

Câu 1 (3đ):Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}
\ln \sqrt{x}-\ln \sqrt{y}=\frac{1}{2} (xy+1)(y-x) \\ x^2+y^2=1

\end{matrix}\right.$
Câu 2 (2,5đ):Cho dãy số $(x_n)$ được xác đinh:$x_1=a, x_{n+1}=x_n(1-x_n)$ với mọi $n\geq1, a\in R$. Tìm a để dãy số $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn.
Câu 3 (4đ):
a) Cho số $A=(2112012)^{2011}+2011^{2012}+2012$. Hãy cho biết số A có phải là số chính phương không? Giải thích vì sao?
b) Cho tập hợp A={1;2;3:..;30}. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 số (phần tử) thuộc tập hợp A sao cho hiệu của 2 số bất kì trong 6 số đó không nhỏ hơn 3?
Câu 4 (5đ):
Cho tam giác ABC, đường cao AD. Biết AD=5, BC=9, AC=$2\sqrt{13}$. Gọi $(\Delta)$ là đường thẳng đi qua điểm D. Đường thẳng $(\Delta)$ cắt đường tròn đường kính AD tại E khác D và cắt đường tròn đường kính AC tai F khác D. Gọi hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của BC và EF.
a) Chứng minh rằng AN vuông góc với MN
b) Trong trường hợp diện tích tam giác AMN đạt giá trị lớn nhất, hãy tính giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng CN.
Câu 5 (3đ): Tìm hàm số f:R->R thỏa mãn:$f(xf(x)+f(y))=[f(x)]^2+y$, với mọi $x,y\in R $
Câu 6 (2,5đ):
Cho x,y,z là các số thực phân biệt và không âm. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=(x^2+y^2+z^2)[\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(y-z)^2}+\frac{1}{(z-x)^2}]$

P/s: Câu số 1 em gõ hệ không đc, mod giúp em nhé. thanks

\begin{matrix}
a_{1}=1,a_{2}=2,a_{3}=24\\a_{n}=\frac{2a_{n-1}(3a_{n-1}.a_{n-3}-4a_{n-2}^{2})}{a_{n-2}.a_{n-3}} \forall n\geq 4

\end{matrix}
Tìm công thức tổng quát an

Câu 3 (3 điểm )
2.Tìm tất cả các bộ ba số nguyên (x,y,z) thỏa mãn
$\begin{cases} & \text{ } y^{3} =x^{3}+2x^{2}+1\\ & \text{ } xy = z^{2} +2 \end{cases}$

$y^{3} =x^{3}+2x^{2}+1 \Rightarrow y^3>x^3 \Rightarrow y>x \Rightarrow y \geq x+1 \Rightarrow x^{3}+2x^{2}+1 \geq (x+1)^{3} $
$\Rightarrow -3\leq x \leq 0 \Rightarrow ... $

Bài 3:(1.0 điểm). Tìm các nghiệm nguyên của pt:
$x^{4}+4x^{3}+7x^{2}+6x+4=y^{2}$
<=> $4x^{4}+16x^{3}+28x^{2}+24x+16=4y^{2}$
<=> $(2x^{2}+4x+3)^{2}+7=4y^{2}$
<=> $(2x^{2}+4x+3-2y)(2x^{2}+4x+3+2y)=-7$
<=> ...