quynx2705

Mình muốn viết chữ hoặc cả công thức Toán (có nhiều dòng) trong một khung có kẻ viền thì phải làm thế nào?

Nếu dùng \fbox thì chỉ được một dòng thôi.

Hơn nữa, nếu mình muốn tô màu cho cả khung đó thì dùng lệnh như thế nào?

Mong mọi người chỉ bảo giúp. Rất cảm ơn mọi người.

$$2(5x-3)\sqrt{x+1}+5(x+1)\sqrt{3-x}=3(5x+1).$$

Nếu học lớp 12 rồi thì có thể làm bằng pp hàm số:

PT tương đương với $(2x)^3+(2x)=(\sqrt{2x+1})^3+\sqrt{2x+1}$.

Xét hàm số $f(t)=t^2+t$ thấy đồng biến trên $\mathbb{R}$, mà $f(2x)=f(\sqrt{2x+1})$ nên $2x=\sqrt{2x+1}$.

Đến đây dễ rồi. @@

Nếu chưa học về đạo hàm cũng không sao. Biến đổi như trên rồi đặt $a=2x$, $b=\sqrt{2x+1}$, pt trở thành

$$a^3+a=b^3+b$$

tương đương với

$$(a-b)(a^2+ab+b^2+1)=0$$

tương đương $a=b$ do $a^2+ab+b^2+1>0$ với mọi $a, b$.

Lấy (2) trừ (1) theo vế được

$$x^2+(2y+1)x+4y-2=0.$$

(Đoạn này nháp: Coi đây là pt bậc hai với $x$ là ẩn, $y$ là tham số. Tính được $\Delta =(2y-3)^2$, từ đó theo công thức nghiệm tìm được $x=-2$ hoặc $x=-2y+1$)

Khi đó pt tương đương với $(x+2)(x+2y-1)=0$ hay $x=-2$ hoặc $x=-2y+1$.

Thay vào một trong hai pt ban đầu, tìm được nghiệm của hệ.

Đoạn này hình như bị sai bạn ạ. Nhầm $xy^2$ thành $x^2y$ phải không nhỉ?

Giải các phương trình:

3) $2(x^2+2x+3)=5\sqrt{x^3+3x^2+3x+2}$

Pt tương đương với

$$2(x^2+x+1)+2(x+2)=5\sqrt{(x+2)(x^2+x+1)}.$$

Đặt (cho dễ nhìn) $a=\sqrt{x^2+x+1}$, $b=\sqrt{x+2}$ thì pt trở thành

$$2a^2-5ab+2b^2=0$$

tương đương $$(a-2b)(2a-b)=0.$$

Do đó $a=2b$ hoặc $b=2a$. Đến đây dễ rồi.

Từ hệ suy ra phương trình đồng bậc $4$ là

$$(x^3+8y^3-4xy^2)(2x+y)=1.(2x^4+y^4)$$

tương đương với

$$y(x^3-8x^2y+12xy^2+7y^3)=0.$$

Đến đây mình không có máy tính nên không biết pt bậc 3 kia có nghiệm là gì...

Nên làm cách này: Nhận xét $x\neq 0$, chia 2 vế cho $x^2$, đặt $t=\dfrac{x^2+x+4}{x}$ thì được ngay pt bậc 2 ẩn $t$, đó là $t^2+3t+3=0$.

Còn nếu thành thạo rồi thì nên tách thành tích ngay cho nhanh.

Tóm lại, pt đẳng cấp $ma^2+n(ab)+pb^2=0$ có thế giải bằng cách chia 2 vế cho $a^2$ hoặc $b^2$ rồi đặt $t=\dfrac{a}{b}$ hoặc $t=\dfrac{b}{a}$ (thường dùng cho Cấp 2).

Với Cấp 3 thì nên bấm máy tính (nhập hệ số lần lượt là $m$, $n$, $p$ như khi giải 1 pt bậc hai), máy cho ra 2 nghiệm là $k$ và $h$ thì tách ngay pt thành $m(a-kb)(a-hb)=0$ do đó $a=kb$ hoặc $a=hb$.

còn $x^{2}-xy+2y^{2}=0$ thì sao bạn?

$x^{2}-xy+2y^{2}=(x-\frac{y}{2})^2+\dfrac{7y^2}{4}=0$ khi $x=y=0$.

Bạn giải thích dùm mình cái $\frac{log_{2}(x+1)^{2}-log_{3}(x+1)^{3}}{x^{2}-3x-4}>0\Leftrightarrow \frac{ln(x+1)}{x-4}>0$?

Như thế này bạn ạ: ĐK: $x>-1, x\neq 4$. Khi đó vế trái bpt biến đổi thành

$$VT=\dfrac{\frac{2\ln (x+1)}{\ln 2}-\frac{3\ln (x+1)}{\ln 3}}{(x+1)(x-4)}$$

$$=\dfrac{\ln (x+1)}{x-4}.\dfrac{\frac{2}{\ln 2}-\frac{3}{\ln 3}}{x+1}.$$

Chú ý là $x+1>0$ và bấm máy tính để thấy dấu của $\dfrac{2}{\ln 2}-\dfrac{3}{\ln 3}$.

Có thể đưa về hệ $$\begin{cases} x^3=2-xy\\ y^3=-3-3xy\end{cases}.$$

Nhân 2 phương trình theo vế, đặt $t=xy$ ta có

$$t^3=-6-3t+3t^2$$

tương đương

$$(t-1)^3=-7$$

hay $t=1-\sqrt[3]{7}$. Từ đó tìm được $x$, $y$.

Tính ra cách này cũng giống cách bạn 1110004 thôi.

Sử dụng liên hợp thôi! Sau khi mò được nghiệm $x=-1$ thì ta làm như sau:

PT tương đương với một trong các pt sau:

$$(x+1)+4(\sqrt{2-2x}-2)+2(\sqrt{x+2}-1)=0$$

$$(x+1)+4\dfrac{2-2x-4}{\sqrt{2-2x}+2}+2\dfrac{x+2-1}{\sqrt{x+2}+1}=0$$

$$(x+1)\left [1-\dfrac{8}{\sqrt{2-2x}+2}+\dfrac{2}{\sqrt{x+2}+1}\right ]=0$$

Đến đây chứng minh được biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương với mọi $-2\le x\le 1$.