Đến nội dung

nhathuyenqt

nhathuyenqt

Đăng ký: 04-08-2009
Offline Đăng nhập: 06-02-2013 - 12:05
*----

Trong chủ đề: Topic nhận đề Hình học

31-08-2012 - 19:54

Hình vẽ cho đề của em

Trong chủ đề: Topic nhận đề Hình học

31-08-2012 - 19:46

ĐỀ:
Cho tam giác ABC và $A_{1}B_{1}B_{1}$ đối xứng nhau qua tâm đường tròn nội tiếp chung, bán kính r. Chứng minh rằng tích các diện tích của tam giác ABC, $A_{1}B_{1}B_{1}$ và sau tam giác tạo thành do các cạnh của ABC và $A_{1}B_{1}B_{1}$ cắt nhau bằng $r^{16}$.
Bài giải:
Dựng hình như hình vẽ
Ta có $OB=OB_{1}$, $OC=OC_{1}$
=> $BCB_{1}C_{1}$ là hình bình hành
=> $BC=B_{1}C_{1}$
Tương tự
$AC=A_{1}C_{1}$
$AB=A_{1}B_{1}$
=>$\Delta ABC=\Delta A_{1}B_{1}C_{1}$
Xét các hình bình hành $BCB_{1}C_{1}$, $ACA_{1}C_{1}$, $ABA_{1}B_{1}$,
$ECE_{1}C_{1}$
Ta có $AD=A_{1}D{1} AE=A_{1}E{1}$
và $\widehat{A}=\widehat{A_{1}}$
Do đó
$\Delta ADE=\Delta A_{1}D_{1}E_{1}$
Tương tự
$\Delta B_{1}EK_{1}=\Delta BE_{1}K$
$\Delta D_{1}CK_{1}=\Delta DC_{1}K$
Ký hiệu
$S, S_{1}, S_{2}, S_{3}$ lần lượt là diện tích của $\Delta ABC,\Delta ADE,\Delta DC_{1}K,\Delta KBE_{1}$
Gọi $h_{a}, h_{b},h_{c}$ là các đường cao hạ từ các đỉnh ABC của $\Delta ABC$
Ta có
$S=pr=\frac{1}{2}a.h_{a}=\frac{1}{2}b.h_{b}=\frac{1}{2}c.h_{c}$
Gọi AM là đường cao $\Delta ADE$, AN là đường cao $\Delta ABC$, ta có
$S_{1}=\frac{1}{2}DE.AM$
Từ 2 tam giác đồng dạng ABC và ADE
$DE=\frac{a.(h_{a}-2r)}{h_{a}}$
$AM=h_{a}-2r$$AM=h_{a}-2r$
Vậy
$S_{1}=\frac{a.(h_{a}-2r)^{2}}{2h_{a}}=\frac{a.(\frac{2pr}{a}-2r)^{2}}{2h_{a}}=\frac{r^{2}.(p-a)^{2}}{S}$
Tương tự
$S_{2}=\frac{r^{2}.(p-b)^{2}}{S}$
$S_{3}=\frac{r^{2}.(p-c)^{2}}{S}$
Áp dụng định lý Hê-rông ta được
$S^{2}.S_{1}^{2}S_{2}^{2}.S_{3}^{2}=\frac{r^{12}(p-a)^{4}(p-b)^{4}(p-c)^{4}S^{2}}{S^{6}}=r^{12}.\frac{S^{4}}{p^{4}}=r^{16}$

Trong chủ đề: Topic nhận đề PT, BPT, HPT, HBPT

23-08-2012 - 18:37

ĐỀ: Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} 23a^{2}+b^{2}=25ab+71a-27b+28,,,(1)) & \\ 24b^{2}+73b=25ab+25a-133,,,(2)& \end{matrix}\right.$

-------------------------------------

Bài giải


Hệ đã cho tương đương với

$\left\{\begin{matrix} 23a^{2}+b^{2}-71a+27b=25ab+28,,,, (3) & \\ 24b^{2}+73b-25a+161=25ab+28,,,(4) & \end{matrix}\right.$
Trừ (3) cho (4) vế theo vế, ta có
$23a^{2}-23b^{2}-46a-46b-161=0$
$\Leftrightarrow a^{2}-b^{2}-2a-2b-7=0$
$\Leftrightarrow (a -1)^{2}-(b+1)^{2}-7=0,,,(5)$

Từ (2) ta có

$24b^{2}+73b-25ab-25a+133=0$
$\Leftrightarrow (24b^{2}+48b+24)-(25ab+25a-25b-25)+84=0$
$\Leftrightarrow 24(b+1)^{2}-25(b+1)(a-1)+84=0 $ (6)

Từ (5) và (6) ta có hệ đã cho tương đương với

$\left\{\begin{matrix} (a -1)^{2}-(b+1)^{2}-7=0 & \\ 24(b+1)^{2}-25(b+1)(a-1)+84=0 & \end{matrix}\right.$

Đặt

$\left\{\begin{matrix} x=a-1 & \\ y=b+1 & \end{matrix}\right.$

Ta có

$\left\{\begin{matrix} x^{2}-y^{2}-7=0 & \\ 24y^{2}-25xy+84=0 ,,,,(*) & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y^{2}x^{2}-y^{4}-7y^2=0& \\ (24y^{2}+84)^{2}=(25xy)^{2} \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 625x^{2}y^{2}-625y^{4}-4375y^2=0 & \\ 576y^{4}+7056+4032y^{2}=625x^{2}y^{2} & \end{matrix}\right.$

Trừ (7) cho (8), ta có
$49y^{4}+343y^{2}-7056=0$
Giải phương trình ta được
$y^{2}=9$ và $y^{2}=-16$ (loại)
$\Rightarrow y=\pm 3$
Xét y=3 thay vào (*) ta được $216-75x+84=0\Rightarrow x=4$
Với $\left\{\begin{matrix} x=4 & \\ y=3 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=5 & \\ b=2 & \end{matrix}\right.$

Xét y=-3 thay vào (*) ta được $216+75x+84=0\Rightarrow x=-4$
Với $\left\{\begin{matrix} x=-4 & \\ y=-3 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=-3 & \\ b=-4 & \end{matrix}\right.$

Vậy hệ có 2 nghiệm là (5,2) và (-3,-4)

Trong chủ đề: Topic nhận đề PT, BPT, HPT, HBPT

23-08-2012 - 18:19

ĐỀ: Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix} 23a^{2}+b^{2}=25ab+71a-27b+28,,,, (1)& \\24b^{2}+73b=25ab+25a-133,,,(2) \left \right \end{matrix}\right.$

-------------------------------------

Bài giải

Hệ đã cho tương đương với
$$\left\{\begin{matrix} 23a^{2}+b^{2}-71a+27b=25ab+28,,,, (3)& \\24b^{2}+73b-25a+161=25ab+28,,,(4) \left \right \end{matrix}\right.$$
Trừ (3) cho (4) vế theo vế, ta có
$23a^{2}-23b^{2}-46a-46b-161=0$$
\Leftrightarrow $a^{2}-b^{2}-2a-2b-7=0$$
$\Leftrightarrow $(a -1)^{2}-(b+1)^{2}-7=0$$ (5)

Từ (2) ta có

$24b^{2}+73b-25ab-25a+133=0$
$\Leftrightarrow (24b^{2}+48b+24)-(25ab+25a-25b-25)+84=0$
$\Leftrightarrow 24(b+1)^{2}-25(b+1)(a-1)+84=0 $ (6)

Từ (5) và (6) ta có hệ đã cho tương đương với

$\left\{\begin{matrix} (a -1)^{2}-(b+1)^{2}-7=0 & \\ 24(b+1)^{2}-25(b+1)(a-1)+84=0 & \end{matrix}\right.$

Đặt

$\left\{\begin{matrix} x=a-1 & \\ y=b+1 & \end{matrix}\right.$

Ta có
$\left\{\begin{matrix} x^{2}-y^{2}-7=0 & \\ 24y^{2}-25xy+84=0 ,,,,(*) & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix} y^{2}x^{2}-y^{4}-7y^2=0& \\ (24y^{2}+84)^{2}=(25xy)^{2} & \end{matrix}\right.$$

$\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix} 625x^{2}y^{2}-625y^{4}-4375y^2=0 & \\ 576y^{4}+7056+4032y^{2}=625x^{2}y^{2} & \end{matrix}\right.$$
$\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix} 625y^{4}+4375y^2=625x^{2}y^{2} ,,,,,(7) & \\ 576y^{4}+7056+4032y^{2}=625x^{2}y^{2},,,,, (8) & \end{matrix}\right.$$

Trừ (7) cho (8), ta có
$49y^{4}+343y^{2}-7056=0$
Giải phương trình ta được
$y^{2}=9$ và $y^{2}=-16$ (loại)
$\Rightarrow y=\pm 3$
Xét y=-3 thay vào (*) ta được $216+75x+84=0\Rightarrow x=-4$
..... $\left\{\begin{matrix} x=-4 & \\ y=-3 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=-3 & \\ b=-4 & \end{matrix}\right.$
Xét y=3 thay vào (*) ta được $216-75x+84=0\Rightarrow x=4$
..... $\left\{\begin{matrix} x=4 & \\ y=3 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=5 & \\ b=2 & \end{matrix}\right.$

Vậy hệ có 2 nghiệm (5;2) và (-3;-4)

Trong chủ đề: Topic nhận đề PT, BPT, HPT, HBPT

23-08-2012 - 16:28

Đề : Giải hệ phương trình sau
$\left\{\begin{matrix} 23a^{2}+b^{2}=25ab+71a-27b+28 & \\ 24b^{2}+73b = 25ab+25a-133 & \end{matrix}\right.$$\left\{\begin{matrix} 23a^{2}+b^{2}=25ab+71a-27b+28 & \\ 24b^{2}+73b = 25ab+25a-133 (1) & \end{matrix}\right.$$\left\{\begin{matrix} 23a^{2}+b^{2}=25ab+71a-27b+28 & \\ 24b^{2}+73b = 25ab+25a-133 (2) & \end{matrix}\right.$

--------------------------------------------------------------------------


Bài giải:

Hệ đã cho tương đương với
$\left\{\begin{matrix} 23a^{2}+b^{2}-71a+27b+161=25ab+28 & \\ 24b^{2}+73b-25a=25ab+28 \end{matrix}\right.$