together1995

Bài 3a sử dụng đồng dư, bài 4 dùng phương pháp tọa độ

1 bài bất đăng thức nổi tiếng của Đào Hải Long:
Do không mất tính tổng quát của bài ta giả sử $x\geq y\geq z$
Ta có$\frac{1}{\left ( x-y \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( y-z \right )^{2}}\geq \frac{2}{(x-y)(y-z)}\geq \frac{8}{\left ( z-x \right )^{2}}$
Suy ra $VT\geq \frac{1}{\left ( z-x \right )^{2}}+\frac{8}{\left ( z-x \right )^{2}}=\frac{9}{\left ( z-x \right )^{2}}$
$$\geq \frac{9}{2\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )}$$
(Luôn đúng do $2\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )\geq \left ( z-x \right )^{2}$ )
Dấu = khi $\left\{\begin{matrix} x=0 & \\ y+z=0 & \end{matrix}\right.$ và hoán vị bộ số này $\square$

Mình đã thi HSG xong. Bạn làm sai rồi nhé, nên chú ý các số thực x,y,z không âm và phân biệt, câu này không dễ như bạn nghĩ đâu, nếu ko ai giải ra mình sẽ cho đáp án

bạn ơi, sao bạn biết là trừ 2 vế cho $3\sqrt{3}$ vậy bạn. Trừ 2 vế cho số đó khó nghĩ ra lắm. bạn giải thích cho mọi người nha. cám ơn bạn

Bạn đó trừ $3\sqrt{3}$ với mục đích là trừ mỗi hạng tử cho $\sqrt{3}$ rồi có thể nhân liên hiệp lên để ở tử còn lại chỉ là $a$ cho nó đơn giản hơn thôi bạn

Bạn cho cái điều kiện $a,b,c$ dương thì hơi bị khó ở , vì thực tế, nếu như $a,b,c$ là ba số thực khác nhau thì ta có $$(a^2+b^2+c^2)\left [ \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2} \right ]\ge \frac{9}{2}.$$ Là một kết quả quen thuộc của Đào Hải Long, còn nếu như $a,b,c$ không âm đôi một khác nhau thì $$(a^2+b^2+c^2)\left [ \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2} \right ]\ge \frac{11+5\sqrt{5}}{2}.$$

Đây là đề thi chọn HSG thi QG 11-12 trường THPT chuyên ĐH Vinh đó bạn, còn kết quả của Đào Hải Long, cho mình link bài làm để mình hiểu được không?

Giải như sau:
Trước hết ta có bài toán quen thuộc $\sum \frac{a^2}{(b-c)^2}\geq 2$ (1)
Ta chứng minh:
$\sum \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}\geq 2$ (2)
Bớt 1 đj mỗi hạng tử ta được:$\sum \frac{ab}{(a-b)^2}\geq \frac{-1}{4}$ (3)
Thêm 1 vào mỗi hạng tử ta lại đc:$\sum \frac{a^2+b^2}{(a-b)^2}\geq \frac{5}{2}$ (4)
Cộng (1) với (4) ta được:$\sum \frac{1}{(a-b)^2}\geq \frac{9}{2(a^2+b^2+c^2)}$
Như vậy $P=(a^2+b^2+c^2)\sum \frac{1}{(a-b)^2}\geq \frac{9}{2(a^2+b^2+c^2)}(a^2+b^2+c^2)=\frac{9}{2}$
Vậy P min=$\frac{9}{2}$, đạt tại $(a+b)(b+c)(a+c)=8abc, chẳng hạn c=0,a=-b$

Bạn nói rõ hơn được không, tại sao có (1) hay thế?