sakura139

Đâu có:
$ 4xy +(x-y)^{2}=4xy+x^2-2xy+y^2=x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$

ko phải mình nói cái này, chỗ từ bất đẳng thức suy ra ấy.

5 : $2\sqrt{4xy}(x+y)$ $\leq 4xy +(x-y)^{2} $
----> (x+y) $\geq$ 4 .

phải là x +y chứ sao lại x - y

5 : 4(x+y) = $2\sqrt{4xy}(x+y)$ $\leq 4xy +(x-y)^{2} = (x+y)^{2}$

Cái này phải là $2\sqrt{4xy}(x+y)$ $\leq 4xy +(x+y)^{2}$ chứ nhể???

Rút gọn biểu thức

$\dfrac{{\sqrt{4+{\sqrt{15}}}+\sqrt{5-{\sqrt{21}}}}}{\sqrt{6+{\sqrt{35}}}}+1$

Lần đầu gửi bài có gì MOD thông cảm
______________________________________________________
hxthanh@: Bạn quên mất không chặn 2 đầu công thức bởi cái dấu $

Nhân tử và mẫu cho căn 2:
$\frac{\sqrt{8+2\sqrt{15}}+\sqrt{10-2\sqrt{21}}}{\sqrt{12+2\sqrt{35}}}+1$
$=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}+1 = 1+1 = 2$

Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} x+y+z+\frac{1}{x} +\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{51}{4}& & & & & \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}} =\frac{771}{16}& & & & & \end{matrix}\right.$

Nhờ MOD sửa lại cái chủ đề cái

Đặt $a = x + \frac{1}{x}; \ b = y+\frac{1}{y}; \ c = z+\frac{1}{z}$
$\Rightarrow a^2 = (\frac{1}{x}+x)^2 = x^2+\frac{1}{x^2}+2 \Leftrightarrow a^2 - 2 = x^2+\frac{1}{x^2}$
Tương tự:
$b^2-2=y^2+\frac{1}{y^2}; \ c^2 - 2 = z^2+\frac{1}{z^2}$
=> hệ đã cho có dạng:
$\left\{\begin{matrix} a+b+c=\frac{51}{4} \\ a^2+b^2+c^2=\frac{867}{16} \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow 3(a^2+b^2+c^2)=\frac{2601}{16}=(\frac{51}{4})^2=(a+b+c)^2$
Ta lại có:
$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac$
$\Rightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geq 2(ab+bc+ac)$
$\Rightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2$
Dấu = xảy ra khi: $a=b=c \ and \ a+b+c=\frac{51}{4}$
$\Leftrightarrow a=b=c=\frac{17}{4}(tmdk)$
$\Rightarrow x+\frac{1}{x}=\frac{17}{4}\Leftrightarrow 4x^2-17x+4=0 \Leftrightarrow x = 4 \ hoac \ x = \frac{1}{4}$
Tương tự tìm ra y, z.
Hệ phương trình có 8 nghiệm...

3/b BĐT cần CM$$\Leftrightarrow \frac{(a+b)^{2}}{2}+\frac{a+b}{4}\geq \sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})$$
$$ \frac{(a+b)^{2}}{2}+\frac{a+b}{4}\geq 2\sqrt{\frac{(a+b)^{2}(a+b)}{8}}=\frac{a+b\sqrt{a+b}}{\sqrt{2}}$$
Mà $$a+b \geq 2\sqrt{ab} ; \sqrt{a+b}\geq \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{2}}$$
$$\Rightarrow \frac{a+b\sqrt{a+b}}{\sqrt{2}}\geq \frac{2\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{2}=\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})$$
$\Rightarrow dpcm$

Cách khác ngắn hơn:
$(a+b)^2+\frac{a+b}{2}=(a+b)(a+b+\frac{1}{2})=(a+b)(a+\frac{1}{4}+b+\frac{1}{4})$
Áp dụng bđt Cô-si, ta có:
$a+b\geq 2\sqrt{ab};$
$a+\frac{1}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}a} = \sqrt{a}; \ b+\frac{1}{4}\geq \sqrt{b}$
$\Rightarrow (a+b)(a+\frac{1}{4}+b+\frac{1}{4})\geq 2\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b}) = 2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a} (dpcm)$