Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


sakura139

Đăng ký: 12-08-2009
Offline Đăng nhập: 03-12-2014 - 22:54
-----

#529021 Giải pt $2x+\frac{x-1}{x} = \sqrt{1-...

Gửi bởi sakura139 trong 15-10-2014 - 22:01

$2x+\frac{x-1}{x} = \sqrt{1-\frac{1}{x}}+3\sqrt{x-\frac{1}{x}}$




#414227 CMR: $\frac{a}{a^3 + b^2 + c}+\frac{b...

Gửi bởi sakura139 trong 22-04-2013 - 08:40

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 3. Chứng minh rắng:

 

$\frac{a}{a^3 + b^2 + c}+\frac{b}{b^3 + c^2+a}+\frac{c}{c^3 + a^2 + b} \leq 1$




#354764 Xét tính đúng sai của mệnh đề Q => P

Gửi bởi sakura139 trong 16-09-2012 - 23:22

Cho 2 mệnh đề:
P: "Tam giác ABC đều cạnh a"
Q: "Chiều cao của ABC là $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$"
Xét tính đúng sai của mệnh đề Q => P
@tramy : Sửa tiêu đề ngay nếu không tôi sẽ khóa topic này.


#326653 Tìm GTNN: $2x+\frac{1}{x^2}$

Gửi bởi sakura139 trong 18-06-2012 - 12:21

Tìm GTNN của: $2x+\frac{1}{x^2}$ với x dương.
  • NLT yêu thích


#314396 Chứng minh: $\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1...

Gửi bởi sakura139 trong 04-05-2012 - 22:50

Cho a, b, c > 0 và $a + b + c \leq 1$
Chứng minh rằng:
$\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2 + 2ab}\geq 9$


#308383 Giải hệ phương trình với $ x+y+z+\frac{1}{x} +\frac{1}{y}+...

Gửi bởi sakura139 trong 05-04-2012 - 18:20

Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} x+y+z+\frac{1}{x} +\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{51}{4}& & & & & \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}} =\frac{771}{16}& & & & & \end{matrix}\right.$

Nhờ MOD sửa lại cái chủ đề cái


Đặt $a = x + \frac{1}{x}; \ b = y+\frac{1}{y}; \ c = z+\frac{1}{z}$
$\Rightarrow a^2 = (\frac{1}{x}+x)^2 = x^2+\frac{1}{x^2}+2 \Leftrightarrow a^2 - 2 = x^2+\frac{1}{x^2}$
Tương tự:
$b^2-2=y^2+\frac{1}{y^2}; \ c^2 - 2 = z^2+\frac{1}{z^2}$
=> hệ đã cho có dạng:
$\left\{\begin{matrix} a+b+c=\frac{51}{4} \\ a^2+b^2+c^2=\frac{867}{16} \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow 3(a^2+b^2+c^2)=\frac{2601}{16}=(\frac{51}{4})^2=(a+b+c)^2$
Ta lại có:
$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac$
$\Rightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geq 2(ab+bc+ac)$
$\Rightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2$
Dấu = xảy ra khi: $a=b=c \ and \ a+b+c=\frac{51}{4}$
$\Leftrightarrow a=b=c=\frac{17}{4}(tmdk)$
$\Rightarrow x+\frac{1}{x}=\frac{17}{4}\Leftrightarrow 4x^2-17x+4=0 \Leftrightarrow x = 4 \ hoac \ x = \frac{1}{4}$
Tương tự tìm ra y, z.
Hệ phương trình có 8 nghiệm...


#307509 Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2011 - 2012

Gửi bởi sakura139 trong 01-04-2012 - 12:34

3/b BĐT cần CM$$\Leftrightarrow \frac{(a+b)^{2}}{2}+\frac{a+b}{4}\geq \sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})$$
$$ \frac{(a+b)^{2}}{2}+\frac{a+b}{4}\geq 2\sqrt{\frac{(a+b)^{2}(a+b)}{8}}=\frac{a+b\sqrt{a+b}}{\sqrt{2}}$$
Mà $$a+b \geq 2\sqrt{ab} ; \sqrt{a+b}\geq \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{2}}$$
$$\Rightarrow \frac{a+b\sqrt{a+b}}{\sqrt{2}}\geq \frac{2\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{2}=\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})$$
$\Rightarrow dpcm$


Cách khác ngắn hơn:
$(a+b)^2+\frac{a+b}{2}=(a+b)(a+b+\frac{1}{2})=(a+b)(a+\frac{1}{4}+b+\frac{1}{4})$
Áp dụng bđt Cô-si, ta có:
$a+b\geq 2\sqrt{ab};$
$a+\frac{1}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}a} = \sqrt{a}; \ b+\frac{1}{4}\geq \sqrt{b}$
$\Rightarrow (a+b)(a+\frac{1}{4}+b+\frac{1}{4})\geq 2\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b}) = 2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a} (dpcm)$


#307478 Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2011 - 2012

Gửi bởi sakura139 trong 01-04-2012 - 10:49

Bài 2: a) Giải phương trình:
$4\sqrt{x+1}= x^2 - 5x + 14$


Hôm đi thi làm thế này ko bít đúng ko, mọi người ai có cách ngắn hơn thì post lên lun.
ĐK : $x \geq -1$
$4\sqrt{x+1}=x^2-5x+14 $
$\Leftrightarrow 4\sqrt{x+1}=(x+1)^2-7(x+1)+20$
Đặt $x+1 =t$, ta có:
$16t = (t^2 - 7t +20)^2 $
$\Leftrightarrow t^4 - 14t^3+89t^2-269t+400 = 0 $
$\Leftrightarrow (t^4-4t^3)-(10t^3 - 40t)+(49t^2-196t)-(100t-400) = 0 $
$\Leftrightarrow (t-4)(t^3-10t^2+49t-100)=0 $
$\Leftrightarrow (t-4)^2(t^2-6t+25) = 0$
Vì $(t^2-6t+25) > 0 \Rightarrow t - 4 = 0 \Rightarrow t = 4 \Rightarrow x = 3 (tmdk)$


#307476 Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2011 - 2012

Gửi bởi sakura139 trong 01-04-2012 - 10:39

Lời giải. a) $6x+3y+2xy=18$
Ta có $1 \le 6x \le 18 \implies 1 \le x \le 3$

  • $x=3 \implies 3y+6y=0 \implies y=0$, loại.
  • $x=2 \implies 3y+4y=6 \implies y \not\in \mathbb{N}^*$, loại.
  • $x=1 \implies 3y+5y=12 \implies y \not\in \mathbb{N}^*$, loại.
Vậy phương trình vô nghiệm.


Xin lỗi nhầm đề tí: $6x + 5y + 18 = 2xy$
$6x + 5y + 18 = 2xy $
$\Leftrightarrow (6x - 2xy) -15 + 5y = -33 $
$\Leftrightarrow (3-y)(2x -5) = -33 = -1.33=-33.1=-11.3=-3.11$


#307336 Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2011 - 2012

Gửi bởi sakura139 trong 31-03-2012 - 20:19

Ngày thi: 29/03/2012
Thời gian: 150'

Bài 1: a) Tìm x, y nguyên dương sao cho $6x + 5y + 18 = 2xy$
b) Chứng minh A là số tự nhiên với mọi a thuộc N:
$A = \frac{a^5}{120}+\frac{a^4}{12}+\frac{7a^3}{24}+\frac{5a^2}{12}+\frac{a}{5}$

Bài 2: a) Giải phương trình:
$4\sqrt{x+1}= x^2 - 5x + 14$
b) Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} y = x^2 \\ z = xy \\ \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{6}{z} \end{matrix}\right.$

Bài 3: a) Cho $a = \frac{1-\sqrt{2}}{2}$. Tính giá trị biểu thức $\sqrt{16a^8 - 51a}$
b) Cho a, b là các số thực dương. Chứng minh:
$(a+b)^2 + \frac{a+b}{2} \geq 2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}$

Bài 4: Cho điểm M thuộc đường tròn (O) đường kính AB. Từ 1 điểm C trên đoạn OB, kẻ CN vuông góc với AM tại N. Tia phân giác của góc MAB cắt CN tại I, cắt (O) tại P. Tia MI cắt đường tròn (O) tại Q.
a) Chứng minh P, C, Q thẳng hàng.
b) Khi AM = BC, chứng minh tia MI đi qua trung điểm của AC.

Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Trên AH, AB, AC lần lượt lấy các điểm D, E, F sao cho $\widehat{EDC} = \widehat{FDB} = 90^o$. Chứng minh rằng: EF // BC.