Đến nội dung

Nguyen Dzung

Nguyen Dzung

Đăng ký: 15-08-2009
Offline Đăng nhập: 01-05-2021 - 04:18
***--

Trong chủ đề: Số học

16-10-2011 - 14:03

Bài 1: CMR có số tự nhiên tận cùng là $2011$ mà chia hết cho $2013$
Bài 2 : CMR có số tự nhiên $n$ sao cho $3^n -1$ chia hết cho $2011$.
Bài 3: 1 số tự nhiên $a$ chia $4$ dư $3$ , chia 9 dư 5 .Hỏi $a$ chia cho $36$ dư bao nhiêu ?
Bài 4 : Tìm số tự nhiên có $2$ chữ số biết nếu nhân số đó với $37$ được kết quả chia cho $31$ dư $15$.
Bài 5: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng cho $29$ dư $5$ , chia $31$ dư $28$.


Bài 1, 2 dùng Dirichlet. Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên cơ bản $4k+3=9q+5$
Bài 4, 5 tương tự bài 3, giải phương trình nghiệm nguyên 2 ẩn

Trong chủ đề: Number theory Marathon

16-10-2011 - 12:53

Problem 16 Tồn tại hay không giá trị $n$ tự nhiên để các số $2^{n+1}-1$ và $2^{n-1}(2^n-1)$ đồng thời là lập phương của các số nguyên.
[/font][/size]


Nếu $n=0$ thì $2^{n+1}-1=1$ và $2^{n-1}(2^n-1)=0$ đều là lập phương của các số nguyên

Nếu $n \ge 1$
Vì $(2^{n-1},2^n-1)=1$ nên $2^{n-1}$ va $2^n-1$ là lập phương của các số nguyên
Do $2^{n+1}-1$ va $2^n-1$ là lập phương của các số nguyên nên:
$2^{n+1}-1=a^3, 2^n-1=b^3$ ($a,b$ là số tự nhiên lẻ, $a>b$)
$\Rightarrow a^3-b^3=2^n$
$\Leftrightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2)=2^n$
Vì $a,b$ lẻ nên $a^2+ab+b^2$ lẻ
Suy ra $a-b=2^n, a^2+ab+b^2=1$
$\Rightarrow a=1, b=0, n=0$ (loại vì $n \ge 1$)

Do đó tồn tại $n$ thoả mãn yêu cầu đề bài

Trong chủ đề: tìm các số nguyên dương a,n,p,q,r

16-10-2011 - 04:02

Tìm tất cả các số nguyên dương $a,n,p,q,r$ với $a \ge 2$ sao cho

$a^{n}-1=(a^{p}-1)(a^{q}-1)(a^{r}-1)$


$a^n-1=(a^p-1)(a^q-1)(a^r-1)$

Do vai trò $p, q, r$ như nhau nên giả sử $p \ge q \ge r$

Ta co:
$a^n-1 > a^p-1$ $\Leftrightarrow n>p$ $\Leftrightarrow n > p \ge q \ge r$

$\Leftrightarrow a^n=a^{p+q+r}-(a^{p+q}+a^{q+r}+a^{p+r})+(a^p+a^q+a^r)$

$\Leftrightarrow a^{n-r}=a^{p+q}-(a^{p+q-r}+a^p+a^q)+(a^{p-r}+a^{q-r}+1)$

$\Rightarrow (a^{p-r}+a^{q-r}+1)$ $\vdots$ $a$

Nếu $q=r, p>q$
$\Rightarrow a^{p-r} + 2$ $\vdots$ $a$
$\Rightarrow 2$ $\vdots$ $a$ $\Rightarrow a=2$ (trái gt)

$\Rightarrow a=3, p=q=r$

$\Rightarrow 3^n=3^{p+1}(3^{2p-1}-3^p+1)$

Do $3^{2p-1}-3^p+1$ không chia hết cho $3$ nên $3^n=3^{p+1}, 3^{2p-1}-3^p+1=1$

$\Leftrightarrow p=q=r=1, n=2, a=3$

Trong chủ đề: giúp mình bài này cái

16-10-2011 - 03:15

lập đa thức bậc 3 mà các nghiệm của nó là : X1 , X2 , X3 thỏa mãn hệ 3 phương trình sau:
$ (1) \dfrac{1}{X1} + \dfrac{1}{X2} + \dfrac{1}{X3} = -2 $

$ (2) \dfrac{1}{X1^2} + \dfrac{1}{X2^2} + \dfrac{1}{X3^2} = 1 $

$ (3) \dfrac{1}{X1^4} + \dfrac{1}{X2^4} +\dfrac{1}{X3^4} =1 $


Bài này bạn post sai box rồi, đây là box số học mà. Mod chuyển lại về đúng chỗ nhé

$\Rightarrow$ Ta có:

$(\dfrac{1}{X_1^2}+\dfrac{1}{X_2^2}+\dfrac{1}{X_3^2})^2=\dfrac{1}{X_1^4}+\dfrac{1}{X_2^4}+\dfrac{1}{X_3^4}=1$

$\Rightarrow \dfrac{1}{X_1^2X_2^2}+\dfrac{1}{X_2^2X_3^2}+\dfrac{1}{X_3^2X_1^2}=0$

$\Leftrightarrow X_1^2+X_2^2+X_3^2=0$

$\Leftrightarrow X_1=X_2=X_3=0$ (vô lý)

Vậy không tồn tại đa thức bậc 3 thoả mãn yêu cầu đề bài

Trong chủ đề: THÔNG BÁO TUYỂN ĐHV THCS, TOÁN CAO CẤP VÀ OLYMPIC

01-10-2011 - 21:09

Nick: Nguyen Dzung
Tên thật: Nguyễn Dũng
Sinh năm: 1996
Trường: (Sẽ nói sau khi "trúng cử")
Vị trí: THCS hoặc THPT