Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Nguyen Dzung

Đăng ký: 15-08-2009
Offline Đăng nhập: 20-04-2015 - 23:49
***--

#279186 Số học

Gửi bởi Nguyen Dzung trong 16-10-2011 - 14:03

Bài 1: CMR có số tự nhiên tận cùng là $2011$ mà chia hết cho $2013$
Bài 2 : CMR có số tự nhiên $n$ sao cho $3^n -1$ chia hết cho $2011$.
Bài 3: 1 số tự nhiên $a$ chia $4$ dư $3$ , chia 9 dư 5 .Hỏi $a$ chia cho $36$ dư bao nhiêu ?
Bài 4 : Tìm số tự nhiên có $2$ chữ số biết nếu nhân số đó với $37$ được kết quả chia cho $31$ dư $15$.
Bài 5: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng cho $29$ dư $5$ , chia $31$ dư $28$.


Bài 1, 2 dùng Dirichlet. Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên cơ bản $4k+3=9q+5$
Bài 4, 5 tương tự bài 3, giải phương trình nghiệm nguyên 2 ẩn


#279177 Number theory Marathon

Gửi bởi Nguyen Dzung trong 16-10-2011 - 12:53

Problem 16 Tồn tại hay không giá trị $n$ tự nhiên để các số $2^{n+1}-1$ và $2^{n-1}(2^n-1)$ đồng thời là lập phương của các số nguyên.
[/font][/size]


Nếu $n=0$ thì $2^{n+1}-1=1$ và $2^{n-1}(2^n-1)=0$ đều là lập phương của các số nguyên

Nếu $n \ge 1$
Vì $(2^{n-1},2^n-1)=1$ nên $2^{n-1}$ va $2^n-1$ là lập phương của các số nguyên
Do $2^{n+1}-1$ va $2^n-1$ là lập phương của các số nguyên nên:
$2^{n+1}-1=a^3, 2^n-1=b^3$ ($a,b$ là số tự nhiên lẻ, $a>b$)
$\Rightarrow a^3-b^3=2^n$
$\Leftrightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2)=2^n$
Vì $a,b$ lẻ nên $a^2+ab+b^2$ lẻ
Suy ra $a-b=2^n, a^2+ab+b^2=1$
$\Rightarrow a=1, b=0, n=0$ (loại vì $n \ge 1$)

Do đó tồn tại $n$ thoả mãn yêu cầu đề bài


#279133 tìm các số nguyên dương a,n,p,q,r

Gửi bởi Nguyen Dzung trong 16-10-2011 - 04:02

Tìm tất cả các số nguyên dương $a,n,p,q,r$ với $a \ge 2$ sao cho

$a^{n}-1=(a^{p}-1)(a^{q}-1)(a^{r}-1)$


$a^n-1=(a^p-1)(a^q-1)(a^r-1)$

Do vai trò $p, q, r$ như nhau nên giả sử $p \ge q \ge r$

Ta co:
$a^n-1 > a^p-1$ $\Leftrightarrow n>p$ $\Leftrightarrow n > p \ge q \ge r$

$\Leftrightarrow a^n=a^{p+q+r}-(a^{p+q}+a^{q+r}+a^{p+r})+(a^p+a^q+a^r)$

$\Leftrightarrow a^{n-r}=a^{p+q}-(a^{p+q-r}+a^p+a^q)+(a^{p-r}+a^{q-r}+1)$

$\Rightarrow (a^{p-r}+a^{q-r}+1)$ $\vdots$ $a$

Nếu $q=r, p>q$
$\Rightarrow a^{p-r} + 2$ $\vdots$ $a$
$\Rightarrow 2$ $\vdots$ $a$ $\Rightarrow a=2$ (trái gt)

$\Rightarrow a=3, p=q=r$

$\Rightarrow 3^n=3^{p+1}(3^{2p-1}-3^p+1)$

Do $3^{2p-1}-3^p+1$ không chia hết cho $3$ nên $3^n=3^{p+1}, 3^{2p-1}-3^p+1=1$

$\Leftrightarrow p=q=r=1, n=2, a=3$


#279132 giúp mình bài này cái

Gửi bởi Nguyen Dzung trong 16-10-2011 - 03:15

lập đa thức bậc 3 mà các nghiệm của nó là : X1 , X2 , X3 thỏa mãn hệ 3 phương trình sau:
$ (1) \dfrac{1}{X1} + \dfrac{1}{X2} + \dfrac{1}{X3} = -2 $

$ (2) \dfrac{1}{X1^2} + \dfrac{1}{X2^2} + \dfrac{1}{X3^2} = 1 $

$ (3) \dfrac{1}{X1^4} + \dfrac{1}{X2^4} +\dfrac{1}{X3^4} =1 $


Bài này bạn post sai box rồi, đây là box số học mà. Mod chuyển lại về đúng chỗ nhé

$\Rightarrow$ Ta có:

$(\dfrac{1}{X_1^2}+\dfrac{1}{X_2^2}+\dfrac{1}{X_3^2})^2=\dfrac{1}{X_1^4}+\dfrac{1}{X_2^4}+\dfrac{1}{X_3^4}=1$

$\Rightarrow \dfrac{1}{X_1^2X_2^2}+\dfrac{1}{X_2^2X_3^2}+\dfrac{1}{X_3^2X_1^2}=0$

$\Leftrightarrow X_1^2+X_2^2+X_3^2=0$

$\Leftrightarrow X_1=X_2=X_3=0$ (vô lý)

Vậy không tồn tại đa thức bậc 3 thoả mãn yêu cầu đề bài



#277566 THÔNG BÁO TUYỂN ĐHV THCS, TOÁN CAO CẤP VÀ OLYMPIC

Gửi bởi Nguyen Dzung trong 01-10-2011 - 21:09

Nick: Nguyen Dzung
Tên thật: Nguyễn Dũng
Sinh năm: 1996
Trường: (Sẽ nói sau khi "trúng cử")
Vị trí: THCS hoặc THPT


#277480 Topic về Bất đẳng thức, cực trị THCS

Gửi bởi Nguyen Dzung trong 01-10-2011 - 00:02

$(a^4+\dfrac{1}{b^4})(b^4+\dfrac{1}{a^4}) = a^4b^4+ \dfrac{1}{a^4b^4}+ \dfrac{a^4}{b^4}+ \dfrac{b^4}{a^4}$
$\ge 2 + a^4b^4+\dfrac{1}{a^4b^4} = 2+(a^4 b^4 + \dfrac{1}{5^{16} a^4b^4} + \dfrac{5^{16}-1}{5^{16} a^4 b^4}$
$\ge 2 + \dfrac{2}{5^8} + \dfrac{4^4(5^{16}-1)}{5^{16} (a+b)^8} \ge 2 + \dfrac{2}{5^8} +\dfrac{4^4(5^16-1)}{5^24}) = ... $

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=5$