Đỗ Quang Duy

Mình biết đây có được coi là bất đẳng thức hoán vị không nữa. Mình có đọc cuốn "Bất đẳng thức và những lời giải hay", ngay phần đầu cuốn này đã nhắc đến "Bất đẳng thức sắp xếp lại", chắc đó là bất đẳng thức hoán vị

Cho $a_1,a_2,...,a_n$ và $b_1,b_2,...,b_n$ là hai dãy số thực đơn điệu cùng chiều (cùng tăng hoặc cùng giảm). Khi đó, với mọi hóa vị tùy ý $(b_{i_1},b_{i_2},...,b_{i_n}$ của $(b_1,b_2,...,b_n)$, ta có:
$a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n \geq a_1b_{i_1}+a_2b_{i_2}+...+a_nb_{i_n}\geq a_1b_n+a_2b_{n-1}+...+a_nb_1$

(Trích "Bất đẳng thức và những lời giải hay")

Bài hình kia gần giống bài này :

Cho tam giác nhọn có AB < AC, các đường cao BD, CE cắt nhau ở H, I là trung điểm của BC.
1. Chứng minh rằng ba đường tròn (BEI), (CDI) và (AED) cùng đi qua một điểm K
2. Chứng minh ba điểm A, K, I thẳng hàng
3. DE cắt BC ở M. Chứng minh tứ giác MEKC nội tiếp, suy ra ba điểm M, H, K thẳng hàng
4. Chứng minh tứ giác MBKD nội tiếp

1. $\widehat{AEM'}=\widehat{AFE}=\widehat{AME}$
$\Rightarrow \DeltaAEM'\infty\DeltaAME$
$\Rightarrow AM.AM'=AE^2$

2. $\widehat{MM'N'}=\widehat{AEM}=\widehat{MNN'}$
$\Rightarrow$ Tứ giác M'MN'N nội tiếp được đường tròn

3. Câu này chỉ có thế này thôi mà hồi xưa mình làm mãi không ra
Ta tính được $AE=R; FH^2=\dfrac{3R^2}{4}$. Ta có
$HP.HQ=HM.HN=HE.HF=HF^2=\dfrac{3R^2}{4}$
$\Leftrightarrow HQ=\dfrac{3R^2}{4HP}$
Lại có
$AP.AQ=AM.AM'=AE^2=R^2$
$\Leftrightarrow (\dfrac{R}{2}-HP)(\dfrac{R}{2}+HQ)=R^2$
$\Leftrightarrow (\dfrac{R}{2}-HP)(\dfrac{R}{2}+\dfrac{3R^2}{4HP})=R^2$
Từ đó ta tính được HP và suy ra $PQ=2\sqrt{3}R$

Cho các số thực dương$x_1;x_2;x_3;...;x_n$
Và $ \dfrac{1}{x_1+1} + \dfrac{1}{x_2+1} +....+ \dfrac{1}{x_n+1} \geq n-1$
CMR $x_1.x_2.x_3....x_n\leq \dfrac{1}{(n-1)^n} $

Từ giả thiết ta có
$\dfrac{1}{a_1+1} \geq (1-\dfrac{1}{a_2+1})+...+(1-\dfrac{1}{a_n+1}) = \dfrac{a_2}{a_2+1}+...+\dfrac{a_n}{a_n+1}$
Theo bất đẳng thức Cauchuy
$\dfrac{1}{a_1+1} \geq (n-1)\sqrt[n-1]{\dfrac{a_2a_3...a_n}{(a_2+1)(a_3+1)...(a_n+1)}}$
Tương tự
$\dfrac{1}{a_2+1} \geq (n-1)\sqrt[n-1]{\dfrac{a_1a_3...a_n}{(a_1+1)(a_3+1)...(a_n+1)}}$
...
$\dfrac{1}{a_n+1} \geq (n-1)\sqrt[n-1]{\dfrac{a_1a_2...a_{n-1}}{(a_2+1)...(a_{n-1}+1)}}$
Nhân theo vế các bất đẳng thức trên ta được
$\dfrac{1}{(a_1+1)(a_2+1)...(a_n+1)} \geq (n-1)^n\dfrac{a_1a_2...a_n}{(a_1+1)(a_2+1)...(a_n+1)}$
$ \Rightarrow a_1a_2...a_n \leq \dfrac{1}{(n-1)^n}$

Muốn viết chỉ số dưới bạn làm thế này, ví dụ :

Kết quả : $ x_1; x_2; x_{a+b+c} $

Đề bị nhầm mọi người ơi. Tại lúc đấy sắp đi học nên không để ý Sửa lại rồii đấy, mời anh em chém...

Thêm bài nữa
Cho x, y thỏa mãn $16x^2 - 9y^2 \geq 144$
Chứng minh rằng $|2x-y+1| \geq 2\sqrt{5} -1$