Đỗ Quang Duy

Bài 1. Chứng minh rằng nếu $a, b, c > 0$ thì
$\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\dfrac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq2$

Bài 2. Chứng minh với mọi số thực dương $a, b, c$, bất đẳng thức sau luôn đúng
$a^2+b^2+c^2+ab^2+bc^2+ca^2+9\geq5(a+b+c)$
(Bài này vui vui )

Bài 1. Cho các số thực dương $a, b, c, m, n$ sao cho $a > b > c$ và $m > n$. Chứng minh rằng
$a^mb^n+b^mc^n+c^ma^n \geq a^nb^m+b^nc^m+c^na^m$

Bài 2. Cho $a, b, c \geq0$ và hai số tự nhiên tùy ý $m, n$. Chứng minh bất đẳng thức :
$a^mb^n+b^mc^n+c^ma^n \leq a^{m+n}+b^{m+n}+c^{m+n}$

Làn này là 2 bài

1. Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=xyz$. Chứng minh rằng
$\dfrac{x+y}{1+z^2}+\dfrac{y+z}{1+x^2}+\dfrac{z+x}{1+y^2}\geq \dfrac{27}{2xyz}$

2. Cho $a,b,c\geq0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$
Chứng minh rằng $(1-ab)(1-bc)(1-ca) \geq \dfrac{8}{27}$

3. Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=8$
Chứng minh rằng $\dfrac{1}{a^2-a+1}+\dfrac{1}{b^2-b+1}+\dfrac{1}{c^2-c+1}\geq1$
Lại là 3 bài

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có $\widehat{BAC}=60^o$; các đường cao BD và CE. Tính diện tích tam giác ODE

1. Cho $a, b, c$ là các số thực không âm có tổng bằng 1. Chứng minh
$\dfrac{c-ab}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{a-bc}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{b-ca}{c^2+ca+a^2}\geq2$

2. Cho 4 số thực dương $a,b,c,d$ có tích bằng 1. Chứng minh $\dfrac{1}{a^4+b^4+c^4+1}+\dfrac{1}{b^4+c^4+d^4+1}+\dfrac{1}{c^4+d^4+a^4+1}+\dfrac{1}{d^4+a^4+b^4+1}\leq1$

3. Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi là 2. Chứng minh
$a^2+b^2+c^2+2abc<2$