Mashimaru

Đây là đề tài chúng em chọn. Mong mọi người nhiệt tình đóng góp, giúp đỡ, đặc biệt là về khoản tài liệu

Định nghĩa bậc của một số nguyên:
Cho $a$ và $m$ là các số nguyên dương thỏa điều kiện $\gcd(a,m)=1$. Khi đó, số nguyên dương $x$ nhỏ nhất thỏa điều kiện $a^x \equiv 1(mod m)$ được gọi là bậc của số nguyên $a$ theo modul $m$ và kí hiệu là $x=ord_m a$

Định nghĩa căn nguyên thuỷ:
Cho các số nguyên $p,q$ sao cho $\gcd(p,q)=1$. Khi đó, $q$ được gọi là căn nguyên thủy của $p$ theo modul $q$ khi và chỉ khi $ord_p q=\phi(p)$.

Để chuẩn bị đội tuển dự kì thi Olympic 30/4 đồng thời chọn đội dự tuyển để bồi dưỡng cho năm 11, ngày 23/2 vừa qua, trường PTNK đã tổ chức kì thi chọn đội tuyển Toán lớp 10 cho học sinh. Đề thi gồm 7 bài như sau:

Bài 1: Tìm $a,b$ để các đa thức sau là bình phương của một đa thức khác:
a. $x^4 +x^3 +2x^2 +ax +b$
b. $x^4 +ax^3 +6x^2 +ax +b$

Bài 2: Cho $a,b,c>1$. Chứng minh rằng:
$\large \dfrac{a^2}{b-1} + \dfrac{b^2}{c-1} + \dfrac{c^2}{a-1} \geq 12$

Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho:
$\large 1^n +2^n +...+(n-1)^n \vdots n$

Bài 4: Trên cạnh huyền $AB$ của tam giác vuông $ABC$, lấy các điểm $M,N$ sao cho $AN=AC$ và $BM=BC$. Chứng minh rằng: $MN^2 = 2AM.BN$

Bài 5: Chứng minh rằng nếu một tam giác có một góc bằng $120^o$ thì chân các đường phân giác trong của tam giác đó lập thành một tam giác vuông.

Bài 6: Cho tập hợp $A$ gồm các phần tử $1,2,...,20$ (xin lỗi, em ko đánh được dấu tập hợp)
a. Có bao nhiêu tập con khác rỗng của $A$ mà tổng các phần tử của chúng là một số chẵn?
b. Có bao nhiêu tập con của $A$ gồm đúng $3$ phần tử mà tổng các phần tử của mỗi tập này đều chia hết cho $3$?

Bài 7: Trên một bàn cờ quốc tế $8$x$8$, ta đặt $8$ quân đôminô, mỗi quân phủ 2 ô kề nhau của bàn cờ. Chứng minh rằng trên bàn cờ ấy, luôn tìm dược một hình vuông $2$x$2$ sao cho các ô của nó không bị phủ bởi một quân đôminô nào.

Nhận xét của em về cái đề này là: quá bất ngờ cho học sinh. Trong khi suốt kì nghỉ Tết, đứa nào cũng lao đầu vào Bất Đẳng Thức, Hình Học Phẳng, Lượng Giác...thì đề thi lại ko có Lượng, bài BĐT và 2 bài Hình lại...quá đỗi "trẻ con". Hầu hết các bạn đều "việt vị" và "chết" tại các bài 3,5 và 7, có mấy đứa sai bài 6 nữa. Xét ra chỉ có 4 đứa làm hết (may ghê, trong đó có mình ^.^) Thôi thì...trước mắt cứ hy vọng đã >.<