toilachinhtoi

Có một bài toán thế này, giải mãi không ra, các bạn giúp với:
Cho H,G là hai ma trận có chiều là m*n và m*p; P>0. Tìm ma trận Q definite positive với tr(Q) <= P sao cho đại lượng sau lớn nhất logdet(I+HQH')-logdet(I+GQG').

Bài này khó quá, botay.com. Mà bài này xuất phát từ đâu vậy?

Trở lại bài $Ae^B=e^BA$.

Bước 1: Xét trường hợp B là ma trận đường chéo=> kiểm tra đơn giản.

Bước 2: $B=MCM^{-1} $ với C là ma trận đường chéo. Sử dụng $e^B=Me^CM^{-1}$ đưa về trường hợp 1.

Bước 3: Với B tổng quát tìm a sao cho B+aI có tất cả trị riêng (phức) phân biệt=>đưa về bước 2.

Một bài toán cũng khá thú vị có thể giải bằng phương pháp này: Nếu A, B là hai ma trận vuông nxn thỏa mãn $Ae^B=e^BA$ thì AB=BA.

Binh loan vê Lênh Hô Xung môt chut

Lệnh Hồ Xung hỡi Lệnh Hồ Xung
Nhạc Linh San đâu có yêu anh hùng
Năm phen bảy lượt nàng mắng chửi
Mà còn nhớ nhung như thằng khùng

Lệnh hồ đồ ơi Lệnh hồ đồ
Không hiểu tấm lòng của ni cô
Mầy lần nàng nhờ người ngỏ ý
Mà cứ ngu ngơ như thằng khờ

Lệnh Hồ điên ơi Lệnh Hồ điên
Nàng Nhậm Doanh Doanh đẹp như tiên
Đêm ngày ở cạnh ngươi chăm sóc
Mà chỉ khiến cho nàng muộn phiền

Lệnh Hồ hên ơi Lệnh Hồ hên
Ba chìm bảy nổi chín túi lênh đênh
Té núi lọt hầm đều lượm bí kiếp
Tưởng banh xác pháo lại được ôm cô mình

To QC: Chắc khoảng tuần sau tôi sẽ mở một topic mới thảo luận về characteristics classes. Bắt đầu từ Stiefel - Whitney nhi?

Computing the boundary map of a CW-complex via the topological
degree:

Given a CW-complex structure $\{e_{\alpha},\chi _{\alpha}|\alpha \in
J\}$ of a space where $e_{\alpha}$ is a cell and $\chi_\alpha$:$(B^m,S^{m-1},s_0)\rightarrow (e^{\alpha},\partial
e^{\alpha}) \hookrightarrow (X^m,X^{m-1},x_0)$ where $X^m$ is the
m-skeleton of X. Let $e_\alpha$ be an m-cell and $e_\beta$ be an
(m-1)-cell. We will define a map
$h^{\alpha}_{\beta}:(S^{m-1},s_0)\rightarrow (S^{m-1},s_0).$ We
abuse the notation $\chi _{\alpha}$ to denote its restriction to the
boundary $\chi _{\alpha}:(S^{m-1},s_0)\rightarrow (X^{m-1},x_0).$
Now let $\stackrel{o}{e_{\beta}}$ be the interior of $e_{\beta}.$
Then denote $p:X^{m-1}\rightarrow
\dfrac{X^{m-1}}{X^{m-1}-\stackrel{o}{e_{\beta}}}$ be the projection
map. Since $\dfrac{X^{m-1}}{X^{m-1}-\stackrel{o}{e_{\beta}}}\sim
B^{m-1}/S^{m-2}\sim S^{m-1},$ we have a map
$h^{\alpha}_{\beta}=p\circ \chi _{\alpha}:S^{m-1}\rightarrow
S^{m-1}.$

Let $J_m$ denote the set of m-cells of X. Then the boundary map
$\partial :C_m(X)\rightarrow C_{m-1}(X)$ will be
$\alpha\mapsto \sum _{\beta \in J_{m-1}}deg(h^{\alpha}_{\beta})\beta.$

Bởi vì tôi không chuyên về topo nên không học sâu về các loại không gian topo. Tuy nhiên cũng thử giải xem sao.

Bài 1: Nếu X có hai điểm phân biệt gọi là a, b thì ta xây dựng một hàm liên tục http://dientuvietnam...metex.cgi?f(x_c)=c (vì nếu có một c sao cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f^{-1}©=\emptyset thì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\overline{W} compact và .

• Draconid yêu thích

Tôi yêu những cô gái
Tôi chưa gặp một lần
Vì những cô ở gần
Làm cho tôi buồn lắm

Có nàng yêu tôi lắm
Ba tháng nói chia tay
Có khi chỉ vài ngày
Là tình yêu đã héo

Có cô nhiều mưu mẹo
Bỗng nhiên nói thích tôi
(Lúc trước cô bĩu môi
Chê bai tôi đủ thứ)

Thôi đủ rồi, tôi sợ
Tôi sẽ đi khỏi đây
Hi vọng có một ngày
Gặp người tôi vẫn đợi

To titeoteo: thanks a lot.

5) Đạo hàm riêng bậc cao:

Cho F(x,y) là một hàm hai biến. Giả sử F có đạo hàm riêng theo x. Đặt http://dientuvietnam...x.cgi?df=-sin(u)du.

Vậy
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x^2u"(x)+2xu&#39;(x)-3u(x)=0. Bằng phép đổi biến http://dientuvietnam...metex.cgi?x=e^t hãy biểu diễn phương trình trên theo t.

Giải: Ta có http://dientuvietnam...metex.cgi?x=e^t nên http://dientuvietnam...ex.cgi?dx=e^tdt, do đó http://dientuvietnam...i?dt/dx=e^{-t}.

Dùng công thức vi phân toàn phần:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?u&#39;_x=u&#39;_t.t&#39;_x=u&#39;_t.e^{-t}. Do đó
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?u"_{xx}=(u&#39;_x)&#39;_x=(u&#39;_t.e^{-t})&#39;_x=(u&#39;_t.e^{-t})&#39;_t.t&#39;_x=(u"_{tt}e^{-t}-u&#39;_te^{-t})e^{-t}.

Thế vào phương trình đầu ta sẽ được phương trình theo t.

Bài tập đạo hàm hàm ngược, hàm ẩn

1) Cho f=f(x,y). Hãy biểu diễn Laplace của f: http://dientuvietnam...ex.cgi?x=rcos(u),y=rsin(u).

2) Cho u, v là các hàm của ba biến x, y, z thỏa
thỏa x=y=z=1 thì u=v=1. Tính khi x=y=z=1.

• YuzBi yêu thích

Trong bài này, chủ yếu tôi muốn trình bày cho các bạn học sinh phổ thông, một kết quả cơ bản của toán học: Nguyên lý ánh xạ co của S. Banach.

I) Định lý điểm bất động Banach

Khái niệm không gian mêtric: Một không gian mêtric X là một tập hợp trên đó có định nghĩa một khoảng cách d(x,y) giữa hai điểm x,y thuộc X. Các bạn có thể lấy ví dụ X là tập hợp những căn nhà trên cùng một con đường, các căn nhà được đánh số liên tiếp nhau và khoảng cách giữa hai căn nhà là trị tuyệt đối hiệu các số nhà của hai căn nhà. Ta thấy rằng khoảng cách này không giống như khoảng cách mà chúng ta thông thường hay dùng. Tuy nhiên nó vẫn giữ các tính chất cơ bản của khoảng cách thông thường

1) Khoảng cách giữa hai căn nhà khác nhau là dương và đối xứng. Điều này được viết bởi d(x,y)=d(y,x)>0 nếu x khác y, và khoảng cách giữa một căn nhà với chính nó là 0: d(x,x)=0.

2) Khoảng cách từ x đến y + khoảng cách từ y đến z >= khoảng cách từ x đến z. Điều này giống như bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác ABC: AB+BC>=AC. Ta biểu diễn tính chất này bởi d(x,y)+d(y,z)>=d(x,z).

Khái niệm không gian mêtric đầy đủ: Không gian mêtric X gọi là đầy đủ nếu cho một dãy x_n các phần tử sao cho nếu n,m càng lớn thì x_n và x_m càng gần nhau (tính chất này được gọi là tính chất Cauchy) thì tồn tại một phần tử x trong X sao cho x_n càng ngày càng gần với x (tính chất này gọi là hội tụ về x).

Định lý ánh xạ co: Cho không gian mêtric đầy đủ X. Cho f:X->X. Nếu tồn tại 0<=a<1 sao cho với mọi x,y ta có d(f(x),f(y))<=ad(x,y). Khi đó tồn tại duy nhất x_0 thỏa mãn f(x_0)=x_0, và nếu ta xét dãy x_n như sau x_2=f(x_1), x_3=f(x_2),...thì x_n hội tụ về x.

f thỏa tính chất trong định lý này gọi là ánh xạ co vì khoảng cách giữa các điểm ảnh của f nhỏ hơn khoảng cách giữa các điểm ban đầu, nghĩa là f làm các điểm co lại.

Việc chứng minh kết quả này chỉ gây khó khăn cho các bạn phổ thông về mặt thuật ngữ thôi, còn thực chất chỉ dùng kết quả về cấp số nhân lùi thôi. Mặc dù chứng minh đơn giản nhưng định lý này là một trong những kết quả cơ bản nhất của toán học.

II) Ứng dụng vào toán học phổ thông:

Trong các bài toán về dãy, các bạn phổ thông thường gặp dạng cho dãy x_{n+1}=f(x_n), chứng minh x_n hội tụ. Cách giải ở phổ thông thương là xét dãy tăng hay giảm và bị chận, hay xét riêng dãy chẵn và lẻ. Nếu áp dụng định lý Banach ta có một cách rất hệ thống và hiệu quả để giải những bài như vậy.

VD: Cho x_{n+1}=cos(x_n). Chứng minh x_n hội tụ. (Lưu ý: Đây là một trong những bài toán thi qualify PhD ở một số trường ĐH ở Mỹ).

Giải: Nhận xét -1<=x_n<=1 với n=2,3,... Do đó 0<=x_n<=1 với n=3,...
Dãy trên có dạng x_{n+1}=f(x_n), f:[0,1]->[0,1], f(x)=cos x. Trên [0,1] ta có f'(x)=-sin x, do đó |f'(x)|<= sin 1<1 (nếu |f'(x)|<=a<1 thì f là ánh xạ co). Vậy áp dụng định lý ánh xạ co ta có x_n hội tụ tới x_0 thỏa x_0=f(x_0)=cos(x).

III) Ứng dụng trong toán học hiện đại:

Nguyên lý ánh xạ co được dùng rất nhiều trong toán học. Chỉ đơn cử một ví dụ là cơ sở toán học của chương trình tìm kiếm của Google có sử dụng nguyên lý này, theo như bài báo dưới đây

http://www.claymath....004.php#carlson

nhan đề là "The Mathematics of Google".

Hoặc một kết quả tưởng chừng như vô lý sau đây: Nếu các bạn trải một bản đồ thế giới ra thì sẽ có đúng một điểm trên bản đồ trùng vị trí với điểm mà nó biểu diễn.

To KK: Tôi không nhớ được nhiều thuật ngữ lắm, nhất là trong topo.

Bài toán dưới đây, tôi có tìm ra một cách giải nhưng không hoàn toàn giống như cách giải đã post ở bài trước. Liệu bạn nào có thể tìm ra cách giải xấp xỉ không? Vì tôi còn phải kiểm tra lại lời giải nên chưa thể post ngay ở đây.

VD4: Cho A là ma trận thực. Chứng minh AA^{T} có các trị riêng là bình phương của những trị riêng của A.

Thân gửi các bạn DĐTH: Qua một thời gian theo dõi, tôi thấy rằng DĐ chúng ta chủ yếu chỉ làm các việc sau:

_Tranh luận về quan điểm
_Giới thiệu sơ qua về những ngành khá chuyên sâu
_Thách đố nhau giải các bài toán

Tôi thấy còn một mảng mà DĐ hơi bị thiếu đó là giới thiệu những phương pháp giải toán cơ bản. Mong các bạn đóng góp nhiều hơn về lĩnh vực này. Để bắt đầu tôi xin giới thiệu một phương pháp căn bản.

1) Ý tưởng: Giả sử ta cần chứng minh rằng một mệnh đề nào đó đúng cho tất cả các ma trận, ta chứng minh nó trước hết cho những ma trận đặc biệt như là ma trận khả nghịch hay chéo hóa được...Sau đó đối với một ma trận A tổng quát ta chọn một dãy A_n các ma trận đặc biệt hội tụ tới A, sau đó lấy giới hạn kết quả khi n\rightarrow\ìnty.

Cơ sở của phương pháp:

_Mọi ma trận vuông nxn đều có thể xấp xỉ bằng những ma trận khả nghịch.

_Mọi ma trận vuông nxn đều có thể xấp xỉ bằng những ma tận chéo hóa được phức. Điều này là vì khi ta nhiễu ma trận đi một chút, đa thức đặc trưng của nó sẽ có các nghiệm phức đơn, do đó chéo hóa được trong trường phức.

2) Ví dụ minh họa:

VD1: Cho A, B là hai ma trận nxn. Chứng minh AB và BA có cùng trị riêng.

Chứng minh: Ta chỉ cần chứng minh rằng AB và BA có cùng đa thức đặc trưng.

Trước hết xét trường hợp B khả nghịch. Ta có BA=B(AB)B^{-1} do đó AB và BA cùng đa thức đặc trưng.

Xét trường hợp tổng quát. Ta chọn một dãy các ma trận khả nghịch B_n hội tụ về B. Theo kết quả vừa chứng minh ta có B_nA và AB_n có cùng đa thức đặc trưng với mọi n=1,2,... Cho n\rightarrow\ìnty ta được điều phải chứng minh.

VD2: Cho A là ma trận nxn, g là đa thức đặc trưng của A. Chứng minh rằng g(A)=0.

Hướng dẫn chứng minh: Trước hết xét trường hợp A chéo hóa được. Sau đó dùng phương pháp xấp xỉ như trên.

VD3: Cho A là ma trận nxn. Chứng minh det(e^{A})=e^{trace (A)}.

Hướng dẫn: Xét trường hợp A chéo hóa được trước tiên.

Trong topic này tôi muốn trao đổi một số vấn đề về những bất cập của nền giáo dục Việt Nam. Tôi sẽ không nói về "bệnh thành tích ảo" vì báo chí đã nói quá nhiều về vấn đề này, hơn nữa theo tôi đây chưa phải là thực chất của sự yếu kém hiện nay của giáo dục Việt Nam. Bởi vì nếu nó là nguyên nhân chính thì chỉ cần bỏ được thì nền giáo dục Việt Nam sẽ tốt hơn, nhưng theo tôi thì không hẳn vậy. Hiển nhiên là những ý kiến này chỉ là những suy nghĩ rất thiển cận của tôi, do đó tôi rất mong được sự tranh luận, đóng góp và đề ra giải pháp của các bạn. Trong bài viết dưới đây khi đề cập đến những từ như "học sinh"..., xin các bạn hiểu là "một con số đáng kể" chứ không phải là "hầu hết".

1) Học sinh phổ thông Việt Nam: Ếch ngồi đáy giếng coi trời bằng vung.

Tôi nói điều này từ chính kinh nghiệm của bản thân tôi. Gần như 99% học sinh phổ thông Việt Nam khi tốt nghiệp 12 đều mang ảo tưởng rằng dân tộc Việt Nam là thông minh nhất thế giới, và bất đẳng thức+phương trình hàm+những bài toán số học sơ cấp là đỉnh cao của toán học. Họ chỉ biết Lê Bá Khánh Trình là thiên tài số một. Một số có thể biết một số ít tên tuổi các nhà toán học Gaus, Cauchy, Abel, Galois nhưng chưa hẳn hiểu được tầm mức quan trọng của họ. Dường như là dân tộc chúng ta bị mù bẩm sinh, khi nhìn lên bầu trời chỉ thấy được những ngôi sao ở gần và nói rằng: "Chao ôi chúng ta thật may mắn được gặp những ngôi sao sáng nhất của vũ trụ!!!"

Chúng ta hay tự hào rằng chương trình phổ thông của Việt Nam là khó nhất, nhưng tự hào về điều đó làm gì vì thực sự có mấy học sinh hiểu rõ các vấn đề trong các sách giáo khoa đó, hơn nữa nếu so sánh với chương trình học của Singapore chẳng hạn thì có thể chẳng khó lắm. Giống như chúng ta tự hào rằng mình được giao nhiệm vụ dời một quả núi nhưng không làm được!!!!!!!!

Chúng ta thường hứng thú việc dùng những phương tiện không thích hợp để làm những điều vượt quá khả năng của phương tiện đó. Giống như bắt dùng toán lớp 1 để giải bài toán Fermat.

Đề xuất: nếu bạn là một học sinh phổ thông xuất sắc về toán thì tôi nghĩ rằng bạn nên nắm vững những khái niệm cơ bản về liên tục, đạo hàm, tích phân, phép tính véc tơ và hình học giải tích. Nếu bạn còn dư thời gian thì nên đọc một số cuốn sách về lịch sử toán học như "Các nhà toán học" của E. T. Bell và các sách toán A 1+2+3+4 của chương trình đại học để thấy rằng người ta có thể giải những bài toán bất đẳng thức quá dễ dàng và tổng quát ra sao?

2) Giáo viên phổ thông Việt Nam: Không nhiệt tình và giấu nghề.

Chắc là nhiều bạn gặp tình trạng: giải không đúng cách cô giảng thì không cho điểm. Tôi có biết một số trường hợp giáo viên dạy lớp 11 cho học sinh về nhà tự xem "định nghĩa giới hạn". Quan trọng nhất là việc giấu nghề, nhất là những giáo viên dạy luyện thi hay trường chuyên. Khi dạy học sinh, thầy chỉ cho bài toán nhưng không cho biết tài liệu mà mình tham khảo. Việc này có liên quan đến thu nhập hay không, tôi không dám bàn. Ý kiến của tôi là khi dạy học sinh thì hãy chỉ cho các em những phương pháp tổng quát giải cho cả một lớp bài toán chứ đừng dạy những mẹo mực chỉ để giải cho một bài toán nhảm nhí nào đó, và hãy rộng lượng cho các em biết xuất xứ của phương pháp mà mình dùng.

3) Sinh viên Việt Nam: Dốt mà chê thầy dở.

Tôi biết có một số lớp đại học mà cả lớp chẳng tính được những giới hạn đơn giản. Và nhiều sinh viên khoa Toán ra trường chẳng nắm được thế nào là sup, limsup, tổng của chuỗi...Đây chỉ là những kiến thức căn bản, nếu các bạn giỏi thì chỉ cần nắm nhà đọc sách cũng hiểu, vậy thì các bạn có thể tự đánh giá mình giỏi hay dở. Cùng một tên môn học, cùng một số tín chỉ nhưng chương trình học ở đại học nước ngoài thường rộng gấp 3 lần chương trình ở Việt Nam. Sinh viên đại học nước ngoài còn học nhiều môn mà ngay cả những tiến sĩ bảo vệ trong nước còn chẳng biết tên nữa. Tôi có lần nghe một người thầy than rằng: chương trình môn học đã được hạn chế quá mức rồi vậy mà số sinh viên rớt quá nhiều, chẳng lẽ sinh viên Việt Nam ngu đến mức không học được hay sao??????

4) Trường đại học Việt Nam: Là con số 0 dưới mắt người nước ngoài.

Chắc nhiều bạn có xem phim "Chị dâu 19 tuổi " của Hàn Quốc, và nhớ một cảnh trong phim (thật tình tôi chỉ nghe kể lại nên không chắc là đúng không): Một anh chàng Hàn Quốc giỏi đến mức 1+1=1 ung dung nộp đơn và được nhận ngay vào Princeton!!!!!!!!! Còn hồ sơ của sinh viên Việt Nam thì theo tôi biết, có nhiều trường hợp chỉ vì là học ở đại học Việt Nam nên bị loại ngay từ vòng đầu.

5) Nhân tiện đây tôi xin nhận xét một ý trong bài viết của anh Nguyễn Tiến Dũng. Anh có nói rằng "đóng góp của các nhà toán học Việt Nam ở nước ngoài thì lớn hơn trong nước" vì theo anh "các nhà toán học Việt Nam ở nước ngoài đăng được nhiều bài báo trong những tạp chí lớn hơn". Tôi chỉ xin nhận xét rằng nếu gởi bài từ Việt Nam cho báo lớn muốn được nhận đăng là rất khó, hơn nữa nếu họ có đăng thì phải chờ rất lâu. Có nhiều bài rất làng nhàng nhưng được đăng ở các tạp chí của AMS vì tác giả là người Trung Quốc!!!!!!!!

Vì trong topic "Bất đẳng thức và các vấn đề mở" bạn MrMath có nói rằng tôi đã post không đúng nội dung nên tôi xin trình bày ý kiến của mình ở đây. Một số ý kiến này tôi cũng thường trao đổi với các bạn của tôi. Mục đích của những vấn đề mà tôi trao đổi ở đây không nhằm mục đích nhục mạ hay chê bai, mà chỉ nhằm ý tốt muốn có sự thay đổi trong cách nhìn nhận về toán học và các lĩnh vực khác trong cuộc sống.

1) Chắc là nhiều bạn đã đọc bài báo của anh Nguyễn Tiến Dũng. Như vậy chắc chắn các bạn sẽ thấy có nhiều người rất lạ trong danh sách các giáo sư Việt Nam hiện đang ở nước ngoài. Vậy các bạn có đồng ý rằng: Những người không được báo chí nhắc đến chưa hẳn là những người dở hơn những người được nhắc đến nhiều? Và hình ảnh do báo chí dựng lên chưa hẳn là thực.

2) Về những bài toán bất đẳng thức do bạn hungkhtn đưa ra, theo như tôi được biết có một cách giải tổng quát cho mọi bất đẳng thức thuần nhất trong cuốn sách "Bất đẳng thức" của Polya. Hơn nữa, một người bạn của tôi cho tôi biết rằng có một trang Web của Trung Quốc trình bày một phương pháp áp dụng rất hiệu quả cho hầu hết các bài toán bất đẳng thức có trong các kì thi quốc tế. Vì vậy mà tôi mới đưa ra ý kiến rằng tại sao chúng ta phải mất công đi giải những bài toán như vậy?

3) Chắc các bạn rất tự hào về việc Việt Nam đoạt giải nhất quốc tế trong các cuộc thi Olympic quốc tế hay Robocon? Nhưng một chút suy ngẫm sẽ làm cho chúng ta cảm thấy bối rối. Tại sao Nhật Bản không đoạt đuợc giải nhất của cuộc thi đó trong khi họ có robot thông minh nhất thế giới là Asimo? Có phải là họ nhường chúng ta hoặc không thèm dự thi vì cuộc thi đó "bèo" quá chăng?

4) Bây giờ tôi sẽ nói về chủ đề của topic này. Tôi muốn hỏi rằng có phải chúng ta quá dở nên đi làm những việc thế giới không thèm làm để có đuợc danh tiếng hão là "nhất"? Nếu chúng ta giỏi tại sao không chế tàu vũ trụ, robot thông minh, không đạt giải Nobel, không giải những bài toán thiên niên kỉ? Chúng ta lại đi chế biến những bất đẳng thức, những bài toán lạ lẫm nhằm mục đích đố chơi. Dân tộc Việt Nam một trăm năm trước đã từng khinh dân tộc Nhật Bản mà? Bây giờ thì sao?

"Thà tìm một lời giải dở của một bài toán hay còn hơn tìm một triệu lời giải hay cho một bài toán dở".