kuma

Nhờ các bạn ^^

1)Cho tam giác $ABC$.
Áp dụng: $cosA+cosB+cosC \le \dfrac{3}{2}$ để chứng minh:
$(1+a+b-ab).cosC+(1+b+c-bc).cosA+(1+a+c-ac).cosB \le 3$

2) Gọi $AA_1,BB_1,CC_1$ tương ứng là phân giác trong của tam giác $ABC$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác đó tại $A_2,B_2,C_2$. CMR:
$\dfrac{AA_1}{AA_2}+\dfrac{BB_1}{BB_2}+\dfrac{CC_1}{CC_2} \le \dfrac{9}{4}$

3) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O;R)$.Gọi $R_1,R_2,R_3$ tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác $OBC,OCA,OAB$. CMR:
$R_1+R_2+R_3\ge3R$

Cho tam giác $ABC$, đường cao $AH$. Điểm $M$ bất kì trên $AH$. Kẻ $BM,CM$ cắt $AC,AB$ lần lượt ở $E,F$. Từ $M$ kẻ các đường vuông góc với $BE,CF$ cắt $AC,AB$ lần lượt tại $L,K$. Chứng minh $LK \parallel BC$

Cho a,b,c dương thỏa mãn $a+b+c=abc$
CMR $\dfrac{ab}{c(1+ab)}+\dfrac{bc}{a(1+bc)}+\dfrac{ca}{b(1+ca)} \ge \dfrac{3\sqrt{3}}{4}$

mọi người giúp với ạ

Một bảng hình chữ nhật kẻ ô vuông có 2011 hàng và 2010 cột. Kí hiệu ô vuông nằm ở giao của hàng thứ m kể từ trên xuống và cột thứ n kể từ trái sang là (m;n). Tô màu các ô vuông trong bảng theo cách sau:
- Lần thứ nhất tô 3 ô: (r;s); (r+1;s+1); (r+2;s+1) với r,s là 2 số tự nhiên cho trước thỏa mãn
- Từ lần 2 mỗi lần tô đúng 3 ô vuông chưa có màu nằm cạnh nhau hoặc trong cùng 1 hàng, hoặc trong cùng một cột.

Hỏi bằng cách đó có thể tô màu được tất cả ô vuông của bảng đa cho hay không?



Giải chi tiết giúp em một chút với. Em lơ mơ phần này lắm.

Cho tập hợp A và tập hợp B gồm hữu hạn các số nguyên dương và mỗi tập có nhiều hơn hai phần tử.
Ta nói rằng hai số nguyên là "thân thiết" với nhau nếu ước số chung lớn nhất của hai số a, b khác 1.
Biết mỗi phần tử của A đều không "thân thiết" với ít nhất một phần tử của B và mỗi phần tử của B đều "thân thiết" với ít nhất một phần tử của A.
Chứng minh rằng tồn tại hai cặp $ a_{1}, a_{2}$ thuộc A và $b_{1}, b_{2}$ thuộc B sao cho:
$a_{1}, b_{1}$ "thân thiết" với nhau;
$ a_{2}, b_{2}$ "thân thiết" với nhau
nhưng $a_{1}$ không "thân thiết" với $b_{2}$
và $a_{2}$ không "thân thiết" với $b_1$.

Nó thuộc chương trình lớp 10, và có liên quan gì đấy đến tích Đề-các của tập hợp ạ...