Heuristic

Một số chính phương là một số n sao cho tồn tại m, n=m². Ví dụ 4=2², vậy 4 là số chính phương; phương trình x²-5 vô nghiệm, vậy 5 không phải là số chính phương.

Một số hoàn hảo là một số n sao cho 2n=tổng các ước của nó. Ví dụ 2.6=1+2+3+6, vậy 6 là một số hoàn hảo.

Bạn có thể đặt một bài toán: tìm tất cả các số hoàn hảo đồng thời là số chính phương. Ta có thể bắt đầu như sau: gọi số hoàn hảo chính phương đó là x². Vậy thì tổng các ước của x² phải bằng 2x². Giả sử x=p_1...p_n (phân tích x thành thừa số nguyên tố).

Câu hỏi: liệu có tính được tổng các ước của x² qua p_i hay không?

(đến đây thì mình tịt, tự đặt ra bài toán khó quá   )

Mình có ý này:

Nếu -1 chính phương mod p, ta có 0.

Nếu -1 không chính phương mod p, tich trên = $(1^2+1)((-1)^2+1)\times$ phần còn lại. Hơn nữa thấy rằng $(a^2+1)((a^{-2}+1))=(a+a^{-1})^2 (\mod p)$. Mong bạn phát triển thêm.

Cho ma trận $A=[a_{ij}]$ vuông cấp $n$ , $tr(A)\neq0$ và thỏa mãn $a_{ik}a_{kj}=a_{kk}a_{ij}$, $\forall i,j,k$. Chứng minh rằng $A$ chéo hóa được.

$a_{ik}a_{kj}=a_{kk}a_{ij}$ suy ra $\sum_k a_{ik}a_{kj}=\sum_k a_{kk}a_{ij}$ hay $A^2=tr(A) A$. Xét $P=\frac{A}{tr(A)}$ thì $P^2=P$. Chứng minh được $V=Im(P)\oplus Ker(P)$. Sau đó chỉ cần chọn hệ cơ sở của $Im(P)$ và $Ker(P)$, hợp lại ta được cơ sở chéo hóa của $P$, chính là cơ sở chéo hóa của $A$.

Mình không làm được bài này, chỉ là tìm thấy lời giải rồi ghi lại thôi, bạn có ý tưởng nào khác thì chia sẻ nhé, chủ yếu là học hỏi thôi. Mà cho mình hỏi đa thức phá hủy là gì thế ?

Em gọi đa thức f(x) mà f(A)=0 là đa thức phá huỷ của ma trận A. Đa thức tối thiểu và đa thức đặc trưng đều là đa thức phá huỷ, nhưng không ngược lại. Em không biết thuật ngữ bình thường gọi là gì, hix...
Khó phết á, chưa nghĩ ra hướng nào mới. Em thích giải thế nào ngắn ngắn mà hay cơ