vantho302

À mình nhầm mất. Tự nhiên trong đầu cứ nghĩ gócB vuông. Hic

Mình sẽ giải chi tiết bài này cho bạn hiểu hơn

Dễ dàng bạn tìm được độ dài cạnh $AB = a;AC = a\sqrt 3 $

Gọi $I$ là trung điểm của AC

Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ S lên$MI$

Ta có
$\left\{ \begin{array}{l}
 MH \bot AC{\rm{ do }}(MI{\rm{ song song }}AB) \\
 SI \bot AC \\
 \end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SHI} \right)$
$ \Rightarrow SH \bot AC\left( 1 \right)$
Lại có $SH \bot MI\left( 2 \right)$
Từ (1), (2):

$\left\{ \begin{array}{l}
 SH \bot AC \\
 SH \bot MI \\
 MI,AC \subset \left( {ABC} \right) \\
 \end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)$

$ \Rightarrow d\left( {S,\left( {ABC} \right)} \right) = SH$

* Tính $SH$

$\begin{array}{l}
 S{M^2} = M{I^2} + S{I^2} - 2MI.SI.\cos \left( {SIM} \right) \\
  \Leftrightarrow \cos \left( {SIM} \right) = \frac{{M{I^2} + S{I^2} - S{M^2}}}{{2MI.SI}} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{17{a^2}}}{4} - 5{a^2}}}{{2.\frac{a}{2}.\frac{{a\sqrt {17} }}{2}}} = \frac{{ - \frac{{{a^2}}}{2}}}{{\frac{{{a^2}\sqrt {17} }}{2}}} =  - \frac{{\sqrt {17} }}{{17}} \\
 \end{array}$
$\cos \left( {SIM} \right) =  - \frac{{\sqrt {17} }}{{17}}$ nghĩa là góc (SIM) lớn hơn ${90^0}$

Do đó, chân đường cao $H$ nằm ngoài đoạn $MI$ và về phía $I$

$ \Rightarrow \cos \left( {SIH} \right) = \frac{{HI}}{{SI}} = \frac{{\sqrt {17} }}{{17}} \Leftrightarrow HI = \frac{{\sqrt {17} }}{{17}}.\frac{{a\sqrt {17} }}{2} = \frac{a}{2}$

$\begin{array}{l}
  \Rightarrow MH = a \\
  \Rightarrow MH = AB = a \\
 \end{array}$
Xét tam giác $SHI$ vuông tại $H$:

$S{H^2} = S{I^2} - I{H^2} = \frac{{17{a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{4} = 4{a^2} \Leftrightarrow SH = 2a$

$ \Rightarrow d\left( {S,\left( {ABC} \right)} \right) = SH = 2a$

Dễ thấy $ABMH$ là hình chữ nhật

$ \Rightarrow B{H^2} = A{B^2} + A{H^2} = 2{a^2} \Rightarrow BH = a\sqrt 2 $

Xét tam giác $SHB$ vuông tại $H$:

$S{B^2} = S{H^2} + B{H^2} = 4{a^2} + 2{a^2} = 6{a^2} \Rightarrow SB = a\sqrt 6 $

Xét tam giác $SAB$:
$\cos \left( {SBA} \right) = \frac{{A{B^2} + S{B^2} - S{A^2}}}{{2AB.SB}} = \frac{{{a^2} + 6{a^2} - 5{a^2}}}{{2{a^2}\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{6}$

Xét tam giác $SBK$ vuông tại $K$:

$\cos \left( {SBK} \right) = \frac{{BK}}{{SB}} = \frac{{\sqrt 6 }}{6} \Leftrightarrow BK = a$

$S{K^2} = S{B^2} - B{K^2} = 6{a^2} - {a^2} = 5{a^2} \Leftrightarrow SK = a\sqrt 5 $
$ \Rightarrow d\left( {S,AB} \right) = SK = a\sqrt 5 $

Quy trình tính toán là như vậy, có thể mình tính sai số nên bạn có thể tính lại kỹ hơn
$------------------------------------------------------------------------------$

Chắc có lẽ cách xác định khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng là khó với một số bạn:

Mình sẽ trình bày phương pháp tìm hình chiếu của điểm lên mặt

* Dể tìm hình chiếu $H$ của điểm $M$ lên mặt phẳng $P$ cho trước:

Ta tìm một mặt phẳng $(Q)$ đi qua điểm $M$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ cắt $(P)$ theo giao tuyến $d$.

Từ đó ta dựng $MH \bot d$. Khi đó $H$ là hình chiếu của $M$ lên $(P)$ hay $d(M,(P))=MH$

 

Áp dụng cho bài toán trên: Mình đã xác định được mặt phẳng $(SMI)$ đi qua điểm $S$ vuông góc với $(ABC)$ và có giao tuyến là $MI$ nên ta dựng $SH$ vuông góc với $MI$ thì $SH$ chính là $d(S,(ABC))$
 

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \sqrt {2{x^2} + 1} }}{{1 - \cos x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {1 - \sqrt {2{x^2} + 1} } \right)\left( {1 + \sqrt {2{x^2} + 1} } \right)\left( {1 + \cos x} \right)}}{{\left( {1 - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right)\left( {1 + \sqrt {2{x^2} + 1} } \right)}}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - 2{x^2}\left( {1 + \cos x} \right)}}{{\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)\left( {1 + \sqrt {2{x^2} + 1} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - 2{x^2}\left( {1 + \cos x} \right)}}{{{{\sin }^2}x\left( {1 + \sqrt {2{x^2} + 1} } \right)}}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - 2\left( {1 + \cos x} \right)}}{{\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{x^2}}}\left( {1 + \sqrt {2{x^2} + 1} } \right)}} = \frac{{ - 4}}{2} =  - 2$

Vì:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1$

 

$D=R$

$\sqrt {{x^2} + 2x + 22}  = {x^2} + 2x + 1 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 21}  = {\left( {x + 1} \right)^2}$

Đặt $t = {\left( {x + 1} \right)^2},t \ge 0$

Phương trình trên trở thành: $\sqrt {t + 21}  = t \Leftrightarrow t + 21 = {t^2},\left( {t \ge 0} \right)$

$ \Leftrightarrow {t^2} - t - 21 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = \frac{{1 + \sqrt {85} }}{2}\\
t = \frac{{1 - \sqrt {85} }}{2} < 0(loai)
\end{array} \right.$

Với $t = \frac{{1 + \sqrt {85} }}{2} \Rightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} = \frac{{1 + \sqrt {85} }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + 1 = \sqrt {\frac{{1 + \sqrt {85} }}{2}} \\
x + 1 =  - \sqrt {\frac{{1 + \sqrt {85} }}{2}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \sqrt {\frac{{1 + \sqrt {85} }}{2}}  - 1\\
x =  - \sqrt {\frac{{1 + \sqrt {85} }}{2}}  - 1
\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}
xy + x + y = {x^2} - 2{y^2}{\rm{ }}\left( 1 \right)\\
x\sqrt {2y} - y\sqrt {x - 1} = 2x - 2y{\rm{ }}\left( 2 \right)
\end{array} \right.$
Điều kiện:
$\left\{ \begin{array}{l}
y \ge 0\\
x \ge 1
\end{array} \right.$
Xét phương trình (1)
$xy + x + y = {x^2} - 2{y^2} \Leftrightarrow 2{y^2} + \left( {x + 1} \right)y - {x^2} + x = 0$
Xem phương trình bậc 2 ẩn là $y$ còn $x$ là tham số
$\Delta = {\left( {x + 1} \right)^2} - 8\left( { - {x^2} + x} \right) = {x^2} + 2x + 1 + 8{x^2} - 8x = 9{x^2} - 6x + 1 = {\left( {3x - 1} \right)^2}$
Do $x \ge 1$ $ \Rightarrow \sqrt \Delta = 3x - 1 > 0$
$ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
{y_1} = \frac{{ - x - 1 - \left( {3x - 1} \right)}}{4} = - x\\
{y_2} = \frac{{ - x - 1 + \left( {3x - 1} \right)}}{4} = \frac{{x - 1}}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - y\\
x = 2y + 1
\end{array} \right.$
* Với $x = - y$ ta loại do không thỏa điều kiện $x \ge 1$
* Với $x = 2y + 1$ ta thay vào (2) được:
$\begin{array}{l}
\left( {2y + 1} \right)\sqrt {2y} - y\sqrt {2y} = 4y + 2 - 2y \Leftrightarrow y\sqrt {2y} + \sqrt {2y} - 2y - 2 = 0\\
\Leftrightarrow \sqrt 2 {\left( {\sqrt y } \right)^3} - 2{\left( {\sqrt y } \right)^2} + \sqrt 2 \left( {\sqrt y } \right) - 2 = 0\\
\Leftrightarrow \sqrt y = \sqrt 2 \Leftrightarrow y = 2 \Rightarrow x = 5
\end{array}$
Không biết mình có tính nhầm chỗ nào không? Bạn dò lại thử nha