Đến nội dung

vantho302

vantho302

Đăng ký: 19-10-2009
Offline Đăng nhập: 13-03-2024 - 16:47
****-

#277092 [Toán 11] Bài tập phương trình lượng giác

Gửi bởi vantho302 trong 25-09-2011 - 18:11

\[\begin{array}{l}
a)4{\sin ^2}2x + 8{\cos ^2}2x - 8 = 0 \\
\Leftrightarrow 4\left( {1 - {{\cos }^2}2x} \right) + 8{\cos ^2}2x - 8 = 0 \\
\Leftrightarrow 4{\cos ^2}2x = 4 \Leftrightarrow {\cos ^2}2x = 1 \\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 2x = 1 \\
\cos 2x = - 1 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = k2\Pi \\
2x = \Pi + k2\Pi \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k\Pi \\
x = \dfrac{\Pi }{2} + k\Pi \\
\end{array} \right.;k \in Z \\
\end{array}\]
\[b)\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\left( {\cos x + 2} \right) - {\sin ^2}x = {\cos ^2}x\]
Điều kiện
\[{\cos ^2}x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\Pi }{2} + k\Pi ,k \in Z\]
Phương trình \[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\left( {\cos x + 2} \right) - \left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) = {\cos ^2}x \\
\Leftrightarrow - {\cos ^2}x + \cos x + 2 = 0 \\
\end{array}\]
Đặt \[t = \cos x\] với \[t \in \left[ { - 1,1} \right]\]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow - {t^2} + t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = - 1 \to nhan \\
t = 2 \to loai \\
\end{array} \right. \\
\Rightarrow \cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \Pi + k2\Pi ,k \in Z \to thoamandieukien \\
\end{array}\]

\[c)\dfrac{3}{{{{\cos }^2}x}} - 4\tan x - 2 = 0\]
Điều kiện
\[\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\Pi }{2} + k\Pi ,k \in Z\]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 3\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) - 4\tan x - 2 = 0 \\
\Leftrightarrow 3{\tan ^2}x - 4\tan x + 1 = 0 \\
\end{array}\]
Đặt \[t = \tan x\] với \[t \in R\]
Phương trình \[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 3{t^2} - 4t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1 \\
t = \dfrac{1}{3} \\
\end{array} \right. \\
t = 1 \Rightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\Pi }{4} + k\Pi ,k \in Z \to thoamandieukien \\
t = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \tan x = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow x = \arctan \left( {\dfrac{1}{3}} \right) + k\Pi ,k \in Z \to thoamandieukien \\
\left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{\Pi }{4} + k\Pi \\
x = \arctan \left( {\dfrac{1}{3}} \right) + k\Pi \\
\end{array} \right.,k \in Z \\
\end{array}\]

\[d)5\cos 2x - 12\sin 2x = 13\]
Chia 2 vế cho
\[\begin{array}{l}
\sqrt {{5^2} + {{12}^2}} = 13 \\
\dfrac{5}{{13}}\cos 2x - \dfrac{{12}}{{13}}\sin 2x = 1 \\
\sin \alpha = \dfrac{5}{{13}},\cos \alpha = \dfrac{{12}}{{13}} \\
\Leftrightarrow \sin \alpha \cos 2x - \cos \alpha \sin 2x = 1 \\
\Leftrightarrow \sin \left( {\alpha - 2x} \right) = 1 \Leftrightarrow \alpha - 2x = \dfrac{\Pi }{2} + k2\Pi \\
\Leftrightarrow x = \dfrac{\alpha }{2} - \dfrac{\Pi }{4} + k\Pi ,k \in Z \\
\end{array}\]

\[e)\sin 7x + \sqrt 3 \cos 7x = \sqrt 2 \]
Chia 2 vế cho
\[\begin{array}{l}
\sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} = 2 \\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin 7x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 7x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \\
\Leftrightarrow \cos \dfrac{\Pi }{3}\sin 7x + \sin \dfrac{\Pi }{3}\cos 7x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \\
\Leftrightarrow \sin \left( {7x + \dfrac{\Pi }{3}} \right) = \sin \left( {\dfrac{\Pi }{4}} \right) \\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
7x + \dfrac{\Pi }{3} = \dfrac{\Pi }{4} + k2\Pi \\
7x + \dfrac{\Pi }{3} = \Pi - \dfrac{\Pi }{4} + k2\Pi \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \dfrac{\Pi }{{84}} + k\dfrac{{2\Pi }}{7} \\
x = \dfrac{5}{{84}} + k\dfrac{{2\Pi }}{7} \\
\end{array} \right.;k \in Z \\
\end{array}\]

\[f)\sin 4x + 4\cos 4x = \dfrac{{\sqrt {51} }}{2}\]
Chia 2 vế cho
\[\begin{array}{l}
\sqrt {{1^2} + {4^2}} = \sqrt {17} \\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {17} }}\sin 4x + \dfrac{4}{{\sqrt {17} }}c{\rm{os}}4x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \\
\end{array}\]
Đặt
\[\begin{array}{l}
c{\rm{os}}\alpha = \dfrac{1}{{\sqrt {17} }},\sin \alpha = \dfrac{4}{{\sqrt {17} }} \\
\Leftrightarrow c{\rm{os}}\alpha \sin 4x + \sin \alpha c{\rm{os}}4x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \\
\Leftrightarrow \sin \left( {4x + \alpha } \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \\
\Leftrightarrow \sin \left( {4x + \alpha } \right) = \sin \dfrac{\Pi }{3} \\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
4x + \alpha = \dfrac{\Pi }{3} + k2\Pi \\
4x + \alpha = \Pi - \dfrac{\Pi }{3} + k2\Pi \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \dfrac{\alpha }{4} + \dfrac{\Pi }{{12}} + k\dfrac{\Pi }{2} \\
x = - \dfrac{\alpha }{4} + \dfrac{\Pi }{6} + k\dfrac{\Pi }{2} \\
\end{array} \right.;k \in Z \\
\end{array}\]
Đơn giản thế là xong :P


#276905 Giúp mình phần loại nghiệm lượng giác nhé?

Gửi bởi vantho302 trong 24-09-2011 - 08:14

Ví dụ trong sách giáo khoa lớp 11 có bài toán sau
$\dfrac{{2\cos 2x}}{{1 - \sin 2x}} = 0$
Điều kiện nghiệm là
$1 - \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow \sin 2x \ne 1 \Leftrightarrow 2x \ne \dfrac{\Pi }{2} + k2\Pi \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\Pi }{4} + k\Pi ,k \in Z$

Nghiệm phương trình sẽ là
$ \Leftrightarrow c{\rm{os}}2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \dfrac{\Pi }{2} + k\Pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\Pi }{4} + k\dfrac{\Pi }{2},k\Pi \in Z$

Bây giờ ta sẽ so sánh nghiệm và điều kiện để biết được nghiệm nào loại và nghiệm nào nhận bằng đường tròn lượng giác
Hình đã gửi
  • k=0 thì điểm nghiệm và điểm điều kiện $A \equiv B = \dfrac{\Pi }{4}$ nhau nên ta sẽ loại giá trị k=0
  • k=1 thì tại thì nghiệm là $A = \dfrac{{3\Pi }}{4} \ne B = \dfrac{{5\Pi }}{4}$ nên ta sẽ nhận giá trị k=1
  • k=2 thì điểm nghiệm và điểm điều kiện $A = \dfrac{{5\Pi }}{4} \equiv B$ nhau nên ta sẽ loại giá trị k=2
  • k=-1 thì điểm nghiệm là $A = - \dfrac{\Pi }{4} \ne B = - \dfrac{{3\Pi }}{4}$ nên ta sẽ nhận k=-1
  • Cứ như quy nạp như vậy thì ta sẽ thấy được nếu như k là một số lẻ $k = 2l - 1$ thì nghiệm ta sẽ nhận, còn nếu k là một số chẵn $k = 2l$ thì ta loại nghiệm
  • Như vậy cuối cùng nghiệm của bài toán luôn luôn nằm ở hai điểm là $ - \dfrac{\Pi }{4} + k\Pi ,\dfrac{{3\Pi }}{4} + k\Pi $
    Kết luận $x = \dfrac{\Pi }{4} + \left( {2l - 1} \right)\dfrac{\Pi }{2} = - \dfrac{\Pi }{4} + l\Pi ,l \in Z$ Hay $x = \dfrac{\Pi }{4} + \left( {2l + 1} \right)\dfrac{\Pi }{2} = \dfrac{{3\Pi }}{4} + l\Pi ,l \in Z$

    Bạn hãy làm nhiều bài tập dạng này thì sẽ quen tay thôi. chúc bạn thành công :*