Tìm kiếm
Nam
Xét khi r=2.
Hệ đồng dư :
$x \equiv r_1(mod m_1)$
$x \equiv r_2( mod m_2)$
chiều $\Rightarrow$ ) Hệ có nghiệm suy ra tồn tại k,t sao cho $x=k.m_1+r_1=t.m_2+r_2$
$\Rightarrow r_1 -r_2 =t.m_2-k.m_1 \vdots (m_1,m_2)$
chiều $\Leftarrow$ ) khi $r_1 -r_2\vdots (m_1,m_2)$.
Chọn $x \equiv r_1. (\dfrac{m_1}{(m_1,m_2)})^{\phi(\dfrac{m_2}{(m_1,m_2)})} +r_2. (\dfrac{m_2}{(m_1,m_2)})^{\phi(\dfrac{m_1}{(m_1,m_2)})} (mod [m_1.m_2]$
Dễ thấy nếu tồn tại $x_0$ thỏa mãn hệ đông dư thì $x_0 -x \vdots m_i (i=1;2) \Leftrightarrow x_0 - x \vdots [m_1,m_2] \Rightarrow$ Tồn tại duy nhât.
Do vậy bài toán được chứng minh khi r=2.
Giả sử bài toán đúng với $r-1 \geq 2$.
$\Rightarrow$ )
Hệ của bài toán có nghiệm nên từng hệ 2 phương trình đồng dư có nghiệm
$\Rightarrow (a_i-a_j) \vdots (m_i -m_j)$ (theo trường hợp r=2)
$\Leftarrow$ )
Theo quy nạp thì bài toán đúng với r-1 . nghĩa là hệ $(m_1,m_2,...m_{r-1))$ có nghiệm $x_0 (mod [m_1,m_2,....m_{r-1}])$
Ta chứng minh hệ
$x \equiv x_0 (mod [m_1,m_2,..m_{r-1}])$
$x\equiv a_r (mod m_r) $
có nghiệm (hiển nhiên nghiệm đó là duy nhất theo mod)
Ta sẽ cm: $( x_0 -a_r) \vdots ([m_1,m_2,...m_{r-1}],m_r)$
Thật vậy : ta có$ x_0 - a_r \equiv a_i -a_r(mod m_i) (\forall i=\bar{1,(r-1)}$
$\Rightarrow x_0 -a_r \vdots (m_i,m_r) \forall i=\bar{1,(r-1)}$
$\Rightarrow x_0 -a_r \vdots [(m_1,m_r),(m_2,m_r)....(m_{r-1},m_r)]$
mặt khác $([m_1,m_2,...m_{r-1}],m_r) $$=[(m_1,m_r),(m_2,m_r)....(m_{r-1},m_r)]$
do vậy chiều $\Leftarrow$) đúng .
Bài toán được chứng minh.
- cool hunter yêu thích
