nghia_metal

Cho 2 điểm M,N di động trên BC,BD thỏa mãn

$2\frac{BC}{BM}+3\frac{BD}{BN}=10$

Chứng minh MN đi qua điểm cố định

Cho tứ giác ABCD nội tiếp. Gọi L, N lần lượt là trung điểm của AC, BD. Chứng minh BD là phân giác của góc ANC khi và chỉ khi AC là phân giác của góc BLD.

​

Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n=\frac{(2+\sqrt3)^{2n-1}+(2-\sqrt3)^{2n-1}}{4}$. Chứng minh $2u_n-1$ là một số chính phương.

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm. Chứng minh $\sum_{cyc}a^4(a-b)\geq 2abc\sum_{cyc}a(a-b)$

Không biết có đúng không nữa!

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm. Chứng minh $\sum_{cyc}a^4(a-b)\geq 2abc\sum_{cyc}a(a-b)$

Hỳ hục hơn cả tiếng đồng hồ!

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh $\sum_{cyclic}\frac{a^2}{b+c}\geq \frac{3(a^3+b^3+c^3)}{2(a^2+b^2+c^2)}$

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm. Chứng minh $\sum_{cyclic}a(a-b)(a-2b)\geq 0$

các số không âm chứ nhỉ

bđt cần chứng minh tương đương $\sum \frac{(a-b)^2+2(a^2-b^2)}{a^2+b^2}\geq 0$

$\Leftrightarrow \sum \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2}\geq 2\sum \frac{b^2-a^2}{a^2+b^2}=2\prod \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}$

ta có $\sum \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2}\geq 3\sqrt[3]{\prod \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2}}$

do đó ta cần chứng minh $3\sqrt[3]{\frac{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}}\geq 2\frac{(a^2-b^2)(b^2-c^2)(c^2-a^2)}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}$

ta sử dụng bài toán sau để chứng minh bđt trên.Với $x>y\geq 0$

$3(x^2+y^2)\geq 2(a+b)^2(a^2-b^2)$

bđt trên luôn đúng do tương đương với $a^2(a^2-2b^2)^2+4ab^3+5b^4\geq 0$

vậy bài toán được chứng minh

Spoiler

bài toán trên là các làm của thầy Võ Quốc Bá Cẩn với 2 bài toán tương tự sau

cho $a,b,c\geq 0$ với không có hai số nào đồng thời bằng $0$.CMR

$1,$ $\frac{(a-b)(13a+5b)}{a^2+b^2}+\frac{(b-c)(13b+5c)}{b^2+c^2}+\frac{(c-a)(13c+5a)}{c^2+a^2}\geq 0$

$2,$ $\frac{(a-b)(3a-b)}{3a^2+2ab+3b^2}+\frac{(b-c)(3b-c)}{3b^2+2bc+3c^2}+\frac{(c-a)(3c-a)}{3c^2+2ca+3a^2}\geq 0$

 

U-th

Bđt này không cần a, b >=0

Cho $a,b,c$ là các số thực sao cho không có hai số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh $\sum_{cyclic}\frac{(a-b)(3a+b)}{a^2+b^2}\geqslant 0$

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh $\frac{a^4+b^4+c^4}{ab+bc+ca}+\frac{3abc}{a+b+c}\geq\frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)$

Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác nhọn. Chứng minh rằng:

$\frac{2a}{b^3+c^3}+\frac{2b}{c^3+a^3}+\frac{2c}{a^3+b^3}\leq\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$

Cho đường tròn (O,R) cố định và hai đường thẳng Ox, Oy cố định và vuông góc nhau. Một điểm P di động trên (O,R). Tiếp tuyến của (O,R) tại P cắt các đường thẳng Ox, Oy lần lượt tại A,B. Đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB cắt (O,R) tại A',B'. Đường thẳng A'B' cắt hai đường thẳng Ox, Oy lần lượt tại C,D Tìm quỹ tích trung điểm I của CD.

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ THẬT TUYỆT!