Đến nội dung


E. Galois

Đăng ký: 23-11-2009
Offline Đăng nhập: 23-09-2017 - 15:38
****-

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: ĐĂNG KÍ LÀM ĐHV DIỄN ĐÀN TOÁN HỌC VMF

28-08-2017 - 12:38

BQT đã phục hồi hàm Trung tướng cho bạn Đỗ Trọng Đạt (Whjteshadow)


Trong chủ đề: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đơn điệu trên một khoảng bằng phươn...

18-08-2017 - 15:07

Thầy cho e hỏi ở vd 2 tại sao x1<1<x2 ạ

Dấu của $f’(x)$ phụ thuộc dấu của $g(x)= x^2– 2x + m +1$
Ta có: $\Delta ’ = - m$.
Nếu $m < 0$ thì $\Delta ' > 0$. Khi đó phương trình $g(x) = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$

$g(1) = m < 0$. 

Do đó $x_1 < 1 < x_2$.


Trong chủ đề: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 ta lập được bao nhiêu STN gồm 3 chữ số chia hết...

28-07-2017 - 08:56

Chia tập hợp các chữ số đã cho thành ba tập:

$$\mathfrak{A}= \{ 3, 0 \}, \mathfrak{B}= \{ 1, 4 \}, \mathfrak{C}= \{ 2, 5 \}$$

Một số thỏa mãn yêu cầu bài toán nhất định phải có ba chữ số lấy từ cả ba tập kể trên.

 

- Nếu từ $\mathfrak{A}$ ta chọn số 3 thì ta có $2.2$ cách chọn 2 chữ số còn lại. Hoán vị ba chữ số đó, ta có: $2.2.3! = 24$ số

- Nếu từ $\mathfrak{A}$ ta chọn số 0 thì ta có $2.2$ cách chọn 2 chữ số còn lại. Hoán vị ba chữ số đó, ta có: $2.2.3! = 24$ số. Trong đó, có $8$ số có chữ số $0$ đứng đầu. Ta thu được $16$ số thỏa yêu cầu.

Vậy có $40$ số thỏa mãn yêu cầu.


Trong chủ đề: $\mathbb{Hom}(V,W) \cong \mathbb{Hom}(W^{*},V^{*})$

05-07-2017 - 08:48

2)

Cho $f: V \to \mathbb{K}$ là phiếm hàm tuyến tính không suy biến. Khi đó tồn tại $v \in V $ sao cho $f(v) = 1$. Thật vậy, do $f$ không suy biến nên tồn tại $u \in V$ sao cho $f(u) = \lambda \neq 0$. Chọn $v = \frac{1}{\lambda} u$ ta có $f(v) = 1$.

$\forall f \in \mathbb{Hom}(V,W), f \neq 0$, $\exists v \in V $ sao cho $f(v) \in W$ và $f(v) \neq 0$. 

Mặt khác $p=(f(v))^* : W \to \mathbb{K}$ là một phiếm hàm tuyến tính không suy biến nên $p|_{f(V)}:f(V) \to \mathbb{K}$ cũng là phiếm hàm tuyến tính không suy biến. Do đó  có thể chọn được $v$ sao cho:

$$p(f(v)) = 1 \Rightarrow (f(v))^* \circ (f(v))= 1 \Rightarrow   p \circ f \neq 0 \Rightarrow   \phi(f)(p) \neq 0$$

Vậy $Ker \phi = \{ 0 \}$. Do đó $\phi$ là đơn cấu.


Trong chủ đề: $\mathbb{Hom}(V,W) \cong \mathbb{Hom}(W^{*},V^{*})$

05-07-2017 - 00:41

Giả sử $V,W$ hữu hạn chiều.

Lấy bất kì $p \in W^*$, ta có $p$ là phiếm hàm tuyến tính, $p: W \to \mathbb{K}$. Lấy $f \in \mathbb{Hom}(V,W)$, ta có $f$ là ánh xạ tuyến tính $f: V \to W$. Do đó:

$$\phi (f) (p) = p \circ f : V \to \mathbb{K}$$

Vậy $\phi (f) (p) \in V^*$. Do đó quy tắc đã cho là 1 ánh xạ.

 

Ta cần chứng minh:

 

1) $\phi$ là ánh xạ tuyến tính. Cái này dễ thấy. Vậy $\phi$ là một đồng cấu.

 

2) $\phi$ là đơn cấu.Thật vậy, $\forall f \in \mathbb{Hom}(V,W), f \neq 0$, $\exists v \in V $ sao cho $f(v) \in W$ và $f(v) \neq 0$, $p=(f(v))^* $ là một phiếm hàm tuyến tính:

$$(f(v))^* \circ (f(v))= 1 \Rightarrow   p \circ f \neq 0 \Rightarrow   \phi(f)(p) \neq 0$$

Vậy $Ker \phi = \{ 0 \}$. Do đó $\phi$ là đơn cấu.

 

3) $\phi$ là toàn cấu. Ta có:

$$\dim \mathbb{Hom}(V,W)=\dim V \times \dim W=\dim V^*\times\dim W^*=\dim\mathbb{Hom}(W^*,V^*)$$

Vậy $\phi$ là toàn cấu.

 

Do đó, $\phi$ là đẳng cấu.