Đến nội dung


E. Galois

Đăng ký: 23-11-2009
Offline Đăng nhập: 25-05-2017 - 01:53
****-

Chủ đề của tôi gửi

Đề thi HSG lớp 11 tỉnh Lạng Sơn năm học 2016 - 2017

09-04-2017 - 12:51

$$\begin{array}{ccc} \textbf{SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO}& \ \ \ \ &\textbf{KỲ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH LỚP 11} \\ \textbf{LẠNG SƠN} && \textbf{Năm học 2016-2017} \\ \boxed{\text{ĐỀ THI CHÍNH THỨC}} && \text{Môn thi: Toán THPT - Ngày thi 05/04/2017} \\ \textit{(Đề thi có 01 trang, 05 câu)} && \textit{ Thời gian làm bài: 180 phút} \\ \end{array}$$

 

$\textbf{Câu 1 (6 điểm)}$

a) Giải hệ phương trình: $\begin{cases} x^3+xy^2=y^6+y^4 \\ \sqrt{4x+5} + \sqrt{y^2+8} = 6\end{cases}$

b) Giải phương trình: $\dfrac{\sqrt{3}}{\cos^2 x} - \tan x - 2 \sqrt{3} = \sin x \left( 1 + \tan x. \tan \dfrac{x}{2} \right)$.

 

$\textbf{Câu 2 (4 điểm)}$. Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi: $\begin{cases} u_1 = 3 \\ u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n^2 - u_n + 2, \forall n \in \mathbb{N}^* \end{cases}$. Đặt:

$$S_n = \frac{1}{u_1}+\frac{1}{u_2}+...+\frac{1}{u_n}, \forall n \in \mathbb{N}^*.$$

Tính $\lim S_n$.

 

$\textbf{Câu 3 (3 điểm)}$. Tìm hệ số của $x^7$ trong khai triển nhị thức Newton của $\left(x^2-\dfrac{2}{x}\right)^n, x \neq 0$. Biết rằng $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $4C_{n+1}^3+2C_{n}^2=A_n^3$.

 

$\textbf{Câu 4 (5 điểm)}$. Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $A$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $DD'$ và $A'B'$.

a) Chứng minh rằng: $AN \perp CM$.

b) Tính theo $a$ khoảng cách giữa hai đường thẳng $CM$ và $A'D$.

 

$\textbf{Câu 5 (2 điểm)}$. Trong hộp chứa các thẻ được ghi dãy số gồm 6 chữ số khác nhau. Tính xác suất để bốc được một thẻ có ghi các chữ số 1, 2, 3, 4, nhưng chữ số 1, 2 không đứng cạnh nhau và chữ số 3, 4 không đứng cạnh nhau.

$$\text{ ------HẾT------}$$

File gửi kèm  LSN11-1617.pdf   120.93K   26 Số lần tải


Đường thẳng EF có gì đặc biệt

19-02-2017 - 15:59

Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn tâm $O$. Trên cung $BC$ không chứa $A$, lấy điểm $P$ (không trùng với $B, C$). Dựng $D$ sao cho $\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{AD}$. Gọi $K$ là trực tâm tam giác $ACD$. Đặt $E, F$ lần lượt là hình chiếu của $K$ lên các đường thẳng $AB, BC$. Đường thẳng $EF$ có gì đặc biệt?


Vinh danh Thành viên Nổi bật $2016$

18-02-2017 - 21:01

1 . Kết quả

 

Đợt bình chọn Thành viên Nổi bật $2016$ của Diễn đàn toán học đã kết thúc. Đã có $137$ lượt bình chọn. Thay mặt BQT xin trân trọng cảm ơn sự nhiệt tình, trách nhiệm của các bạn thành viên đã giúp cho Đợt bình chọn thành công. Dưới đây là kết quả :

 

KẾT QUẢ BÌNH CHỌN THÀNH VIÊN NỔI BẬT NĂM 2016 CỦA DIỄN ĐÀN TOÁN HỌC

 

File gửi kèm  CodeCogsEqn.gif   10.58K   9 Số lần tải

 

Danh sách được xếp theo thứ tự từ cao xuống thấp theo số phiếu bình chọn

2 . Vinh danh

 

BQT hân hạnh vinh danh $5$ bạn có số phiếu cao nhất bằng cách thay đổi Danh hiệu và nhóm của họ thành Thành viên nổi bật 2016

 

Ba thành viên có số phiếu cao nhất hãy nhắn tin cho E.Galois để chọn phần thưởng ( là sách hoặc chuyển khoản, không quá 100K )

 

Thành viên về đầu sẽ nhận được Giấy chứng nhận của Diễn đàn .

 

3 . Lời cuối

 

BQT rất mong các thành viên không lọt được vào top 5 , cũng như các thành viên chưa có tên trong Danh sách ứng viên tiếp tục cố gắng để được các thành viên khác ghi nhận và được BQT Diễn đàn vinh danh vào dịp này sang năm .

 

a


Hàm số bị lãng quên: haversin

09-02-2017 - 23:51

Ta đã biết sin, cô-sin, tang và cô-tang là các hàm lượng giác quen thuộc với chúng ta. Nhưng có lẽ bạn chưa biết đến một hàm lượng giác khá quan trọng. Nó được gọi là haversin và được định nghĩa qua hàm sin như sau:

$$\text{haversin}(x ) = \sin^2 \left( \frac{x}{2} \right)$$

Thuật ngữ haversin có lẽ được xuất phát từ cụm từ "half versed sine". Để thấy hàm số này có ứng dụng gì, bạn hãy đặt mình vào vị trí người du khách dũng cảm trên một chuyến đi biển từ Liverpool đến New York. Điều đầu tiên bạn muốn biết là quãng đường đó dài bao nhiêu? Bỏ qua các đảo, bãi san hô, dòng biển và các yếu tố bất lợi khác, ta có thể nói rằng bạn sẽ chu du trên con đường ngắn nhất nối hai thành phố đó. Ta đã biết, con đường ngắn nhất nối hai điểm bất kì là đoạn thẳng. Nhưng sự thật đó không giúp gì cho bạn trong hoàn cảnh này. Đường thẳng nối Liverpool với New York sẽ đâm xuyên bề mặt Trái Đất. Chắc là bạn không định đào đường hầm đấy chứ?

 

Cái bạn cần là 1 đường ngắn nhất nối hai điểm trên bề mặt Trái Đất (Ta có thể coi Trái Đất là một hình cầu). Trên hình cầu, đường ngắn nhất nối hai điểm là dọc theo cung tròn trên Đường tròn lớn đi qua 2 điểm đó. Đường tròn lớn là giao tuyến của mặt cầu và mặt phẳng đi qua tâm mặt cầu. Hai điểm bất kì trên đường tròn lớn chia đường tròn này làm hai cung. Khoảng cách ta cần xét là cung nhỏ.

 

File gửi kèm  greatcircle.png   44.95K   10 Số lần tải

 

Bây giờ làm thế nào để tính được khoảng cách giữa hai điểm $P$ và $Q$ trên đường tròn lớn của Trái Đất? Giả sử các điểm $P,Q$ có vĩ độ lần lượt là $\phi _ P, \phi _ Q,$ và kinh độ lần lượt là $\lambda _ P$ and $\lambda _ Q.$

Gọi $R$ là bán kính Trái Đất, ta có $R \approx 6371 km$. Khoảng cách giữa hai điểm $P,Q$ trên đường tròn lớn được tìm từ công thức:

\begin{equation} \label{eq:1} \sin ^2{\left(\frac{d}{2R}\right)} = \sin ^2{\left(\frac{\phi _2-\phi _1}{2}\right)} + \cos {\phi _1}\cos {\phi _2} \sin ^2{\left(\frac{\lambda _2-\lambda _1}{2}\right)}\end{equation}

(Các góc được dùng đơn vị radian)

Giải phương trình tìm $d$, ta có:

\begin{equation} \label{eq:2} d = 2R \sin ^{-1}{\left(\sqrt {\sin ^2{\left(\frac{\phi _2-\phi _1}{2}\right)} + \cos {\phi _1}\cos {\phi _2} \sin ^2{\left(\frac{\lambda _2-\lambda _1}{2}\right)}}\right)}\end{equation} 

Bạn sẽ thấy ngay rằng đây là 1 công thức phức tạp. Nếu bạn là một thủy thủ từ hàng trăm năm trước, bạn chỉ được trang bị bảng giá trị sin và cos thì sử dụng công thức trên là cả một vấn đề. Có một căn bậc hai và một hàm lượng giác ngược.

Nếu ta thay biểu thức $\sin ^2(\theta /2)$ bằng hàm haversin thì công thức $\eqref{eq:1}$ trở thành

$$\text{haversin} \left(\frac{d}{R}\right) = \text{haversin}\left(\phi _2-\phi _1\right) + \cos {\phi _1}\cos {\phi _2} \text{haversin}\left(\lambda _2-\lambda _1\right).$$

Khoảng cách $d$ sẽ thành:

$$d = R \text{haversin} ^{-1}\left(\text{haversin}\left(\phi _2-\phi _1\right) + \cos {\phi _1}\cos {\phi _2} \text{haversin}\left(\lambda _2-\lambda _1\right)\right)$$

Việc tìm khoảng cách giữa hai điểm trên đường tròn lớn rất quan trọng trong hàng hải. Vỉ thế, ngày xưa, người ta còn cho in các bảng giá trị hàm haversin cũng như hàm haversin ngược. Nó giúp cho các thủy thủ thuận tiện hơn. Ngày nay, dù bài toán trên vẫn rất quan trọng với cả hàng không và hàng hải nhưng nhờ có máy tính điện tử, người ta chỉ cần dùng công thức $\eqref{eq:2}$. Đó là lý do vì sao bạn không còn nhìn thấy nút haversin trên chiếc máy tính bỏ túi của bạn nữa.

 

Quay trở lại bài toán, Liverpool có tọa độ là $(53.4^\circ ;-3^\circ )$, còn New York có tọa độ $(40.71^\circ ;-74^\circ )$. Các tọa độ có đơn vị là độ. Đổi chúng sang radian (bằng cách nhân với $\frac{\pi}{180}$), ta có: $\phi _ L = 0.932$ và $\lambda _ L=-0.052$ là tọa độ Liverpool, còn $\phi _{NY} = 0.71$ và $\lambda _{NY}=-1.291$ cho New York (làm tròn đến 3 chữ số thập phân). Áp dụng công thức $\eqref{eq:2}$, ta có kết quả $5313$ km.

 

Có thời gian, báo chí Việt Nam bàn luận về đường bay vàng nối Hà Nội với Thành phố Hồ Chí Minh. Bạn hãy thử tính xem đường bay vàng đó dài bao nhiêu. Biết Hà Nội ở tọa độ $(27.175015;78.042155)$, còn TP Hồ Chí Minh có tọa độ $(10.595294;106.411536)$.

 

 

 

Tính xác suất trúng các giải của Xổ số tự chọn Mega 6/45

26-01-2017 - 15:46

Ta đã biết Xổ số tự chọn Mega 6/45 có 45 số từ 1 đến 45. Mỗi vé gồm 6 số được người chơi tự chọn ngẫu nhiên từ 45 số đó. Giá mỗi vé là 10.000. Công ty Vietlott quay số và được kết quả là 1 bộ 6 số.

 

Nếu vé số của bạn có 6 số trùng với 6 số của kết quả (không xét đến thứ tự) thì bạn trúng giải Jackpot. Giải thưởng này rất lớn, khoảng 16 tỉ mỗi kì quay và được tích lũy cho đến khi có người trúng giải. Người trúng giải lớn nhất hiện nay đã được nhận 92 tỉ.

 

Nếu vé số của bạn trùng 5 số so với kết quả (không xét đến thứ tự) thì bạn trúng giải Nhất, trị giá 10 triệu đồng

 

Nếu vé số của bạn trùng 4 số so với kết quả (không xét đến thứ tự) thì bạn trúng giải Nhì, trị giá 300.000

 

Nếu vé số của bạn trùng 3 số so với kết quả (không xét đến thứ tự) thì bạn trúng giải Ba, trị giá 30.000 đồng

 

Câu hỏi:
1) Xác suất bạn trúng Jackpot, Nhất, Nhì, Ba, chỉ trúng 2 số, chỉ chúng 1 số, không trúng số nào là bao nhiêu

2) Giả sử bạn mua 1 vé số. Bạn lỗ hay lãi qua trò chơi này.