Tìm kiếm
Bí mật
Tại sao thỉnh thoảng khi mình kích chon xem các bài viết mới hay tìm kiếm các bài viết ngày hôm nay thì trang web lại báo lỗi. Không biết lỗi gì đây thế.
Sorry, an error occurred. If you are unsure on how to use a feature, or don't know why you got this error message, try looking through the help files for more information
nhungtuyet
Bài tập ma trận
29-01-2010 - 16:28
Một số bài tập tổng hợp.
1) Cho f là toán tử tuyến tính từ không gian vectơ V vào V.
Ma trận biểu biễn của f đối với mọi cơ sở của V là như nhau.
Tìm f ?
2) Cho ma trận vuông A cấp n có $ a_{ij} $
0 
i, j
Tìm điều kiện cần và đủ để $A^{-1} $ có các phần tử đều không âm.
3) Cho ma trận vuông A cấp n, rank(A)=n.
Tìm hạng của ma trận phụ hợp của A.
1) Cho f là toán tử tuyến tính từ không gian vectơ V vào V.
Ma trận biểu biễn của f đối với mọi cơ sở của V là như nhau.
Tìm f ?
2) Cho ma trận vuông A cấp n có $ a_{ij} $
0 i, jTìm điều kiện cần và đủ để $A^{-1} $ có các phần tử đều không âm.
3) Cho ma trận vuông A cấp n, rank(A)=n.
Tìm hạng của ma trận phụ hợp của A.
Một số bài toán giải tích hay.
27-01-2010 - 20:27
Thấy forum giải tích này kém sôi động quá, mình post vài bài nên cho vui.
Bài 1) Cho hàm f:R-->R sao cho |f(a)-f(b)|<|a-b|
a 
b và f(f(f(0)))=0.
Chứng minh f(0)=0.
Bài 2)Cho hàm f(x) khả vi 3 lần trên R, f(x), f'(x), f''(x)>0
: x 
R.
Chứng minh rằng s>0 sao cho f(x)>a.x^2
Bài 3) Cho hàm số f(x) liên tục trên R nhận cả gtri âm và dương.
Chứng minh rằng tồn tại một cấp số cộng a,b,c(a<b<c) sao cho f(a)+f(b)+f©=0.
Bài làm:
1) Ta có |f(a)-f(b)|<=|a-b|
Dấu '=' xảy ra <=> a=b
đặt f(0)=x, f(x)=y.
=> |x-0|>=|f(x)-f(0)|=|y-x|>=|f(y)-f(x)|=|0-y|>=|f(0)-f(y)|=|x-0|
Vậy để t/m các bđt trung trên đều là đăng thức =>x=y=0 hay f(0)=0.
2)Rất đơn giản
Theo CT khai triển Taylor, với x>0
f(x)=f(0)+f'(0).x+f''(0)/2 .x^2+f'''©/6 .x^3, với 0<c<x
Vì f(0)>0, f'(0)>0, f''(0)>0, f'''(0)>0
=>f(x)>f''(0)/2 .x^2
Vậy
a=f''(0)/2 t/m
Bài 3)Tồn tại x' t/m f(x')>0
Vì f(x) liên tục tại x=x' => tồn tại 1 lân cận V của x' mà f(x)>0 x V
Trong V ta tìm được 1 cấp số công a',b',c' t/m f(a')+f(b')+f(c')<0
Tương tự tồn tại 1 cấp số cộng a'',b'',c'' t/m f(a'')+f(b'')+f(c'')<0.
Với t [0,1] xét cấp số cộng sau:
a(t)=a'(1-t)+a''.t
b(t)=b'(1-t)+b''.t
c(t)=c'(1-t)+c''.t
( Vì a',b',c' và a'',b'',c'' là 2 câp số cộng nên dễ dàng ktr a(t),b(t),c(t) cũng là 1 cấp số cộng)
Xét hàm số g(t)=f(a(t))+f(b(t))+f(c(t)) liên tục trên [0,1]
ta có g(0)= f(a')+f(b')+f(c')>0
g(1)= f(a'')+f(b'')+f(c'')<0
=> u (0,1) để g(u)=0
Vậy a(u), b(u), c(u) là cấp số cộng cần tìm.
Bài 1) Cho hàm f:R-->R sao cho |f(a)-f(b)|<|a-b|
a b và f(f(f(0)))=0.Chứng minh f(0)=0.
Bài 2)Cho hàm f(x) khả vi 3 lần trên R, f(x), f'(x), f''(x)>0
: x R.Chứng minh rằng
s>0 sao cho f(x)>a.x^2Bài 3) Cho hàm số f(x) liên tục trên R nhận cả gtri âm và dương.
Chứng minh rằng tồn tại một cấp số cộng a,b,c(a<b<c) sao cho f(a)+f(b)+f©=0.
Bài làm:
1) Ta có |f(a)-f(b)|<=|a-b|
Dấu '=' xảy ra <=> a=b
đặt f(0)=x, f(x)=y.
=> |x-0|>=|f(x)-f(0)|=|y-x|>=|f(y)-f(x)|=|0-y|>=|f(0)-f(y)|=|x-0|
Vậy để t/m các bđt trung trên đều là đăng thức =>x=y=0 hay f(0)=0.
2)Rất đơn giản
Theo CT khai triển Taylor, với x>0
f(x)=f(0)+f'(0).x+f''(0)/2 .x^2+f'''©/6 .x^3, với 0<c<x
Vì f(0)>0, f'(0)>0, f''(0)>0, f'''(0)>0
=>f(x)>f''(0)/2 .x^2
Vậy
a=f''(0)/2 t/mBài 3)Tồn tại x' t/m f(x')>0
Vì f(x) liên tục tại x=x' => tồn tại 1 lân cận V của x' mà f(x)>0
x VTrong V ta tìm được 1 cấp số công a',b',c' t/m f(a')+f(b')+f(c')<0
Tương tự tồn tại 1 cấp số cộng a'',b'',c'' t/m f(a'')+f(b'')+f(c'')<0.
Với t
[0,1] xét cấp số cộng sau:a(t)=a'(1-t)+a''.t
b(t)=b'(1-t)+b''.t
c(t)=c'(1-t)+c''.t
( Vì a',b',c' và a'',b'',c'' là 2 câp số cộng nên dễ dàng ktr a(t),b(t),c(t) cũng là 1 cấp số cộng)
Xét hàm số g(t)=f(a(t))+f(b(t))+f(c(t)) liên tục trên [0,1]
ta có g(0)= f(a')+f(b')+f(c')>0
g(1)= f(a'')+f(b'')+f(c'')<0
=>
u (0,1) để g(u)=0Vậy a(u), b(u), c(u) là cấp số cộng cần tìm.
