*LinKinPark*

Bài 2-day 1



Ta có: $BC$ là tiếp tuyến chung của $\left( {{O_1}} \right),\left( {{O_2}} \right)$. Mà $M$ trung điểm $BC$. Suy ra $M$ thuộc trục đẳng phương của $\left( {{O_1}} \right),\left( {{O_2}} \right)$

Mà $A \in DM$ nên $A$ nằm trên trục đẳng phương của $\left( {{O_1}} \right),\left( {{O_2}} \right)$. Suy ra $AP.AB=AQ.AC$ $ \Rightarrow \Delta AQP \sim \Delta ABC$

Gọi $Px,Py$ lần lượt là tiếp tuyến của $\left( {{O_1}} \right),\left( {{O_2}} \right)$. Ta có:

$180^\circ - \widehat{xPB} = \widehat{PBC} = \widehat{PQC} \Rightarrow Px$ là tiếp tuyến của đường tròn $(APQ)$

Vậy $\left( {{O_1}} \right)$ và $(APQ)$ tiếp xúc nhau tại $P$. Tương tự ta cũng có $\left( {{O_2}} \right)$ và $(APQ)$ tiếp xúc nhau tại $Q$

Vậy $Px,Qy$ là 2 tiếp tuyến của đường tròn $(APQ)$

Đến đây ta để ý do $ \widehat A \ne 90^\circ $ nên 2 tiếp tuyến đó luôn cắt nhau. Nếu $S$ là giao điểm thì $SP=SQ$. Suy ra $S$ cũng thuộc trục đẳng phương của $\left( {{O_1}} \right),\left( {{O_2}} \right)$ ( tức $AM$ ). Vậy $S$ di động trên 1 đường cố định

Bài 4-day 2

Ta có: ${\left[ {a + b + \sqrt {2\left( {a + c} \right)} } \right]^3} = {\left[ {\left( {a + b} \right) + \left( {\sqrt {\dfrac{{a + c}}{2}} } \right) + \left( {\sqrt {\dfrac{{a + c}}{2}} } \right)} \right]^3} \ge \dfrac{{27}}{2}\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)$

Suy ra:

$\left[ {\sum {{{\left( {\dfrac{1}{{a + b + \sqrt {2\left( {a + c} \right)} }}} \right)}^3}} } \right] \le \sum\limits_{cyc} {\dfrac{2}{{27\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}}} = \dfrac{{4\left( {a + b + c} \right)}}{{27\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}$

Cần CM: $\dfrac{{4\left( {a + b + c} \right)}}{{27\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} \le \dfrac{8}{9}$

$ \Leftrightarrow 6\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) \ge \left( {a + b + c} \right)$

Từ ĐK đề bài ta có: $ab + bc + ca \le 16abc\left( {a + b + c} \right) \le \dfrac{{16}}{3}{\left( {ab + bc + ca} \right)^2}$

$ \Rightarrow ab + bc + ca \ge \dfrac{3}{{16}}$

Vậy: $9\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) \ge 8\left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) \ge \dfrac{3}{2}\left( {a + b + c} \right)$

$ \Leftrightarrow 6\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) \ge \left( {a + b + c} \right)$ Q.E.D

Lo ôn thi HK nhiều quá nên toàn lướt qua . Giai luôn vậy

Ta có: $f\left( x \right) = - f\left( 0 \right).\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + \dfrac{1}{2}f\left( { - 1} \right).x\left( {x - 1} \right) + \dfrac{1}{2}f\left( 1 \right).x\left( {x + 1} \right)$

Vậy

$\left| a \right| = \left| { - f\left( 0 \right) + \dfrac{1}{2}f\left( { - 1} \right) + \dfrac{1}{2}f\left( 1 \right)} \right|$

$\left| b \right| = \left| { - \dfrac{1}{2}f\left( { - 1} \right) + \dfrac{1}{2}f\left( 1 \right)} \right|$

$\left| c \right| = \left| {f\left( 0 \right)} \right| \le t$

Nếu $ab = 0$ done!

Nếu $ab > 0$. Suy ra $\left| a \right| + \left| b \right| = \left| {a + b} \right| = \left| {f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right)} \right| \le 2t$

Nếu $ab < 0$. Suy ra $\left| a \right| + \left| b \right| = \left| {a - b} \right| = \left| {f\left( { - 1} \right) - f\left( 0 \right)} \right| \le 2t$

Vậy ta luôn có $\left| a \right| + \left| b \right| + \left| c \right| \le 3t$

Bài 2: Đặt $ a = {2^x},b = {2^y}$ BĐT cần CM tương đương:
$ \dfrac{1}{{1 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} \ge \dfrac{2}{{1 + ab}} \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2}\left( {ab - 1} \right) \ge 0$ (đúng vì $ {2^{x + y}} \ge 1$ với $ x + y \ge 0$)