Trần Văn Dũng

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2016-2017

Môn : TOÁN

Thời gian: 180 phút ( không kể phát đề)

 

 

 

Câu 1 :

a)     Cho hàm số $y = 2{x^4} - {m^2}{x^2} + {m^2} + 2016\,\,\,\,\,(C)$  ( m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số (C ) có ba điểm cực trị A,B,C sao cho bốn điềm O,A,B,C là bốn đỉnh của một hình thoi ( Vối O là gốc tọa độ).

b)     Giải hệ phương trình :$\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - {y^3} + 6{y^2} + 2(x - 7y) + 12 = 0\\\sqrt {3 - x}  + \sqrt {y - 3}  = {x^2} + {y^2} - 10x - 5y + 22\end{array} \right.(x;y \in \mathbb{R} )$

Câu 2:

a) Cho khai triển ${(1 - 2x + {x^3})^n} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... +  + {a_{3n}}{x^{3n}}$ . Xác định hệ số ${a_6}$ biết rằng ${(1 - 2x + {x^3})^n} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... +  + {a_{3n}}{x^{3n}}$ 

b) Cho phương trình:${x^5} - \frac{1}{2}{x^4} - 5{x^3} + {x^2} + 4x - 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(*)$

            b1) Chứng minh rằng phương trình (*) có đúng 5 nghiệm phân biệt.

            b2) Với ${x_i}\,\,(i = \overline {1,5} )$ là nghiệm của phương trình (*), tính tổng S biết:                $S = \sum\limits_{i = 1}^5 {\frac{{{x_i} + 1}}{{2x_{_i}^5 - x_i^4 - 2}}} $

Câu 3: Cho đường tròn $({O_1}),({O_2})$  tiếp xúc ngoài tại điểm T. Một đường thẳng cắt đường tròn $({O_1})$  tại hai điểm A,B phân biệt và tiếp xúc với $({O_2})$   tại  X. đường thẳng XT cắt $({O_1})$  Tại S ( S khác T và C là một điểm trên cung TS không chứa A và B. Cho CY là tiếp tuyến của $({O_2})$   tại Y sao cho các đoạn thẳng CY và ST không cắt nhau. Cho I là giao điển của các đường thẳng XY và SC. Chứng minh rằng:

a) C,T,Y và I cùng thuộc một đường tròn.

b) SA= SI

 

Câu 4:  Cho $a,b,c$  là các số thực dương  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P = \frac{{1344}}{{a + \sqrt {ab}  + \sqrt[3]{{abc}}}} - \frac{{2016}}{{\sqrt {a + b + c} }}$

Câu 5: Cho p là số nguyên tố lẻ và $T = \sum\limits_{k = 0}^p {C_p^kC_{p + k}^k}  - ({2^p} + 1)$. Chứng minh rằng T chia hết cho ${p^2}$ .

Bạn xem lại định lí ở SGK thì không có tương đương

                                                       ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

                             LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2015-2016

                                                                                Môn : TOÁN

                                                            Thời gian: 180 phút ( không kể phát đề)

 

 

 

Câu 1 :

             a. Giải phương trình :             $${x^6} - 12{x^2} + 3\sqrt {15} = 0\,\,(x \in\mathbb{R} )$$

              b.$\left\{\begin{matrix} 23\sqrt {10 - x} + 2y\sqrt {11 - y} = 2x\sqrt {10 - x} + 25\sqrt {11 - y} \\ 6{x^2} + 10{y^2} - x = 15 \end{matrix}\right.$

Câu 2:  Cho tam giác ABC, trên cạnh AC lấy điểm K sao cho AK = 2CK. Gọi M là trung điểm cùa AC, H là hình chiếu của A trên BK. Giả sử $$\widehat {ABK} = 2\widehat {CBK}$$ , chứng minh rằng MH vuông góc với BC

Câu 3: Cho $a,b,c$  là các số thực dương và $$a + b + c = 1$$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$$T = \frac{1}{2}\left( {\frac{{3a + bc}}{{a + bc}}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{{3b + ca}}{{b + ca}}} \right) + \frac{{\sqrt {abc} }}{{c + ba}}$$

Câu 4:  Cho dãy số $$({u_n})$$  xác định bởi $${u_1} = 2015,{u_{n + 1}} = \frac{{u_n^3 + {{2014}^2}}}{{u_n^2 - {u_n} + 4028}},\forall n \in {^\mathbb{N}*}$$ . Đặt $${v_n} = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{u_k^2 + 2014}}} ,\forall n \in {^\mathbb{N}*}$$ . Tính$$\lim {v_n}$$

Câu 5: Có bao nhiêu cách sắp xếp các chữ cái từ bộ chữ cái THITOANHOC sao cho trong mỗi cách sắp xếp hai chữ cái giống nhau không đứng cạnh nhau