Trần Văn Dũng

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2016-2017

Môn : TOÁN

Thời gian: 180 phút ( không kể phát đề)

 

 

 

Câu 1 :

a)     Cho hàm số $y = 2{x^4} - {m^2}{x^2} + {m^2} + 2016\,\,\,\,\,(C)$  ( m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số (C ) có ba điểm cực trị A,B,C sao cho bốn điềm O,A,B,C là bốn đỉnh của một hình thoi ( Vối O là gốc tọa độ).

b)     Giải hệ phương trình :$\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - {y^3} + 6{y^2} + 2(x - 7y) + 12 = 0\\\sqrt {3 - x}  + \sqrt {y - 3}  = {x^2} + {y^2} - 10x - 5y + 22\end{array} \right.(x;y \in \mathbb{R} )$

Câu 2:

a) Cho khai triển ${(1 - 2x + {x^3})^n} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... +  + {a_{3n}}{x^{3n}}$ . Xác định hệ số ${a_6}$ biết rằng ${(1 - 2x + {x^3})^n} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... +  + {a_{3n}}{x^{3n}}$ 

b) Cho phương trình:${x^5} - \frac{1}{2}{x^4} - 5{x^3} + {x^2} + 4x - 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(*)$

            b1) Chứng minh rằng phương trình (*) có đúng 5 nghiệm phân biệt.

            b2) Với ${x_i}\,\,(i = \overline {1,5} )$ là nghiệm của phương trình (*), tính tổng S biết:                $S = \sum\limits_{i = 1}^5 {\frac{{{x_i} + 1}}{{2x_{_i}^5 - x_i^4 - 2}}} $

Câu 3: Cho đường tròn $({O_1}),({O_2})$  tiếp xúc ngoài tại điểm T. Một đường thẳng cắt đường tròn $({O_1})$  tại hai điểm A,B phân biệt và tiếp xúc với $({O_2})$   tại  X. đường thẳng XT cắt $({O_1})$  Tại S ( S khác T và C là một điểm trên cung TS không chứa A và B. Cho CY là tiếp tuyến của $({O_2})$   tại Y sao cho các đoạn thẳng CY và ST không cắt nhau. Cho I là giao điển của các đường thẳng XY và SC. Chứng minh rằng:

a) C,T,Y và I cùng thuộc một đường tròn.

b) SA= SI

 

Câu 4:  Cho $a,b,c$  là các số thực dương  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P = \frac{{1344}}{{a + \sqrt {ab}  + \sqrt[3]{{abc}}}} - \frac{{2016}}{{\sqrt {a + b + c} }}$

Câu 5: Cho p là số nguyên tố lẻ và $T = \sum\limits_{k = 0}^p {C_p^kC_{p + k}^k}  - ({2^p} + 1)$. Chứng minh rằng T chia hết cho ${p^2}$ .

Xin các bạn cho ý kiến về các bài toán tìm quỹ tich trong Sgk nâng cao 11.
Tôi thấy trong SKG khi tìm quỹ tích thông qua các phép biến hình thì không thấy phần tìm phần đảo của bài toán. Vậy lời giải trong SGK có ý nghĩa như thế nào?
Cụ thể trong bài phép quay ở mục 4 ứng dụng của phép quay ( bài toán 2) SGK 11 NC trang17

                                                       ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

                             LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2015-2016

                                                                                Môn : TOÁN

                                                            Thời gian: 180 phút ( không kể phát đề)

 

 

 

Câu 1 :

             a. Giải phương trình :             $${x^6} - 12{x^2} + 3\sqrt {15} = 0\,\,(x \in\mathbb{R} )$$

              b.$\left\{\begin{matrix} 23\sqrt {10 - x} + 2y\sqrt {11 - y} = 2x\sqrt {10 - x} + 25\sqrt {11 - y} \\ 6{x^2} + 10{y^2} - x = 15 \end{matrix}\right.$

Câu 2:  Cho tam giác ABC, trên cạnh AC lấy điểm K sao cho AK = 2CK. Gọi M là trung điểm cùa AC, H là hình chiếu của A trên BK. Giả sử $$\widehat {ABK} = 2\widehat {CBK}$$ , chứng minh rằng MH vuông góc với BC

Câu 3: Cho $a,b,c$  là các số thực dương và $$a + b + c = 1$$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$$T = \frac{1}{2}\left( {\frac{{3a + bc}}{{a + bc}}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{{3b + ca}}{{b + ca}}} \right) + \frac{{\sqrt {abc} }}{{c + ba}}$$

Câu 4:  Cho dãy số $$({u_n})$$  xác định bởi $${u_1} = 2015,{u_{n + 1}} = \frac{{u_n^3 + {{2014}^2}}}{{u_n^2 - {u_n} + 4028}},\forall n \in {^\mathbb{N}*}$$ . Đặt $${v_n} = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{u_k^2 + 2014}}} ,\forall n \in {^\mathbb{N}*}$$ . Tính$$\lim {v_n}$$

Câu 5: Có bao nhiêu cách sắp xếp các chữ cái từ bộ chữ cái THITOANHOC sao cho trong mỗi cách sắp xếp hai chữ cái giống nhau không đứng cạnh nhau