minhhung_2811

Hình như đề bài của bạn có vấn đề thật rồi !
Mình nghĩ đề đúng là như thế này:

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ đều. Trên $AB$ và $BC$ lấy $M$ và $N$ sao cho $BM = BN$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $BMN$. Trên $AN$ lấy $I$ sao cho $I$ là trung điểm của $AN$. Tính các góc của tam giác $IGC$.

Giải: Gọi $P$ là trung điểm của $MN$
Ta có: tam giác $BMN$ cân tại $B$ (vì $BM = BN$) và $\widehat{MBN} = {60^0}$ nên tam giác $BMN$ đều
Khi đó $G$ là trọng tâm cũng là trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $BMN$ đều
Ta tính được $\widehat{GNB} = {30^0}$, $\widehat{GNP} = {30^0}$, $\widehat{NGP} = {60^0}$ và $\widehat{HGN} = {60^0}$

Tam giác $ANM$ có: $I$ và $P$ lần lượt là trung điểm của $AN$ và $MN$
Nên $IP$ là đường trung bình của tam giác $ANM$
$\to PI\parallel AM$ hay $PI\parallel AB \to \widehat{MPI} = \widehat{BMN} = {60^0}$

Kéo dài $MG$ cắt $BC$ tại $H$, ta có $\widehat{GHN} = {90^0}$
Khi đó:
$\widehat{GNC} = \widehat{GHN} + \widehat{HGN} = {90^0} + {60^0} = {150^0}$ (góc ngoài của tam giác $GHN$)
$\widehat{GPI} = \widehat{GPM} + \widehat{MPI} = {90^0} + {60^0} = {150^0}$
Nên $\widehat{GNC} = \widehat{GPI}$

Ta có:$BA = BC;BM = BN \to AM = CN$.
Mà $AM = 2PI$ (vì $PI$ là đường trung bình của tam giác $ANM$) nên $CN = 2PI \to \dfrac{{PI}}{{CN}} = \dfrac{1}{2}$
Lại có: $\dfrac{{GP}}{{GN}} = \sin \widehat{GNP} = \sin {30^0} = \dfrac{1}{2}$
Do đó: $\dfrac{{PI}}{{CN}} = \dfrac{{GP}}{{GN}}$

Xét tam giác $GPI$ và tam giác $GNC$, ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}\widehat{GPI} = \widehat{GNC} \\ \dfrac{{PI}}{{CN}} = \dfrac{{GP}}{{GN}} \\ \end{array} \right.$
Suy ra $\Delta GPI \sim \Delta GNC$ $ \to \widehat{IGP} = \widehat{CGN}$

Khi đó: $\widehat{IGC} = \widehat{IGP} + \widehat{PGC} = \widehat{CGN} + \widehat{PGC} = \widehat{PGN} = {60^0}$

Ta có: $\Delta GPI \sim \Delta GNC \to \dfrac{{IG}}{{GC}} = \dfrac{{GP}}{{GN}} = \dfrac{1}{2}$
Gọi $T$ là trung điểm của $GC$ thì $IG = GT\left( { = \dfrac{1}{2}GC} \right)$.
Mà $\widehat{IGT} = \widehat{IGC} = {60^0}$ nên tam giác $IGT$ đều
$\to IT = \dfrac{1}{2}GC\left( { = IG = GT} \right)$

Tam giác $IGC$ có đường trung tuyến $IT$ ứng với cạnh $GC$ và $IT = \dfrac{1}{2}GC$
Nên tam giác $IGC$ vuông tại $I$
$\to \widehat{GIC} = {90^0} \to \widehat{ICG} = {30^0}$

Vậy các góc của tam giác $IGC$ là:
$\widehat{GIC} = {90^0}$, $\widehat{IGC} = {60^0}$ và $\widehat{ICG} = {30^0}$

$3\sqrt {\tan x + 1} .\left( {\sin x + 2\cos x} \right) = 5\left( {\sin x + 3\cos x} \right)$

Điều kiện: $\cos x \ne 0;\tan x \ge - 1$

Khi đó, phương trình trở thành:

$3\sqrt {\dfrac{{\sin x + \cos x}}{{\cos x}}} .\left( {\sin x + 2\cos x} \right) = 5\left( {\sin x + 3\cos x} \right)$

$\Leftrightarrow 3\sqrt {\sin x + \cos x} .\left( {\sin x + 2\cos x} \right) = 5\sqrt {\cos x} .\left( {\sin x + 3\cos x} \right)$

Đặt $a = \sqrt {\sin x + \cos x}$ và $b = \sqrt {\cos x}$, ta có phương trình:

$3a\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = 5b\left( {{a^2} + 2{b^2}} \right)$

$\Leftrightarrow 3{a^3} - 5{a^2}b + 3a{b^2} - 10{b^3} = 0$

$\Leftrightarrow \left( {a - 2b} \right)\left( {3{a^2} + ab + 5{b^2}} \right) = 0$

Trường hợp 1:

$3{a^2} + ab + 5{b^2} = 0$

$\Leftrightarrow 2{a^2} + {\left( {a + \dfrac{b}{2}} \right)^2} + \dfrac{{19}}{4}{b^2} = 0$

$\Leftrightarrow a = b = 0$

Khi đó, ta có:

$\sqrt {\sin x + \cos x} = \sqrt {\cos x} = 0$

$\Leftrightarrow \sin x = \cos x = 0$

Điều này vô lí ! Vì ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$

Trường hợp 2:

$a = 2b$

Khi đó. ta có:

$\sqrt {\sin x + \cos x} = 2\sqrt {\cos x}$

$\Leftrightarrow \sin x + \cos x = 4\cos x$

$\Leftrightarrow \sin x = 3\cos x$

Mà ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$ nên:

$10{\cos ^2}x = 1 \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x = \dfrac{1}{5}$

$\Leftrightarrow 1 + \cos 2x = \dfrac{1}{5} \Leftrightarrow \cos 2x = - \dfrac{4}{5}$

$\Leftrightarrow 2x = \pm \arccos \left( { - \dfrac{4}{5}} \right) + k2\pi$

$\Leftrightarrow x = \pm \dfrac{1}{2}\arccos \left( { - \dfrac{4}{5}} \right) + k\pi$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm:

$x = \pm \dfrac{1}{2}\arccos \left( { - \dfrac{4}{5}} \right) + k\pi$

$2\sqrt {3\sin x} = \dfrac{{3\tan x}}{{2\sqrt {\sin x} - 1}} - \sqrt 3$

Điều kiện: $\sin x \ne \dfrac{1}{4};\cos x \ne 0;\sin x \ge 0$

Khi đó phương trình trở thành:

$4\sqrt 3 \sin x - 2\sqrt {3\sin x} = 3\tan x - 2\sqrt {3\sin x} + \sqrt 3$

$\Leftrightarrow 4\sqrt 3 \sin x - \dfrac{{3\sin x}}{{\cos x}} - \sqrt 3 = 0$

$\Leftrightarrow 4\sqrt 3 \sin x\cos x - 3\sin x - \sqrt 3 \cos x = 0$

$\Leftrightarrow 2\sin x\cos x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x + \dfrac{1}{2}\cos x$

$\Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{6}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = x + \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\ 2x = \pi - x - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\ x = \dfrac{{5\pi }}{{18}} + k\dfrac{{2\pi }}{3} \\ \end{array} \right.$

Kết hợp với điều kiện, ta có được nghiện của phương trình là:

$x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi$ hay $x = \dfrac{{5\pi }}{{18}} + k\dfrac{{2\pi }}{3}$ với $x \ne \dfrac{{29\pi }}{{18}} + l2\pi$

($k$, $l$ nguyên)

Ta có:

$2\cot 2x = \dfrac{{{{\cot }^2}x - 1}}{{\cot x}} = \cot x - \tan x$ $ \to \tan x = \cot x - 2\cot 2x$

$2\cot 4x = \dfrac{{{{\cot }^2}2x - 1}}{{\cot 2x}} = \cot 2x - \tan 2x$ $ \to 2\tan 2x = 2\cot 2x - 4\cot 4x$

Khi đó, ta có:

$LHS = \tan x + 2\tan 2x + 4\cot 4x$

$= \cot x - 2\cot 2x + 2\cot 2x - 4\cot 4x + 4\cot 4x$

$= \cot x = \dfrac{{\cos x}}{{\sin x}} = \dfrac{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2} - {{\sin }^2}\dfrac{x}{2}}}{{2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2}}}$

$= \dfrac{{\left( {\cos \dfrac{x}{2} - \sin \dfrac{x}{2}} \right)\left( {\cos \dfrac{x}{2} + \sin \dfrac{x}{2}} \right)}}{{2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2}}}$

Do vậy, phương trình đã cho tương đương:

$\dfrac{{\left( {\cos \dfrac{x}{2} - \sin \dfrac{x}{2}} \right)\left( {\cos \dfrac{x}{2} + \sin \dfrac{x}{2}} \right)}}{{2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2}}} = \sin \dfrac{x}{2} + \cos \dfrac{x}{2}$

Điều kiện: $x \ne l\pi$

Phương trình trở thành:

$\left( {\cos \dfrac{x}{2} + \sin \dfrac{x}{2}} \right)\left( {\cos \dfrac{x}{2} - \sin \dfrac{x}{2} - 2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2}} \right) = 0$

Trường hợp 1:

$\cos \dfrac{x}{2} = - \sin \dfrac{x}{2}$ $ \Leftrightarrow \cos \dfrac{x}{2} = \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} + \dfrac{x}{2}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{x}{2} = \dfrac{\pi }{2} + \dfrac{x}{2} + k2\pi \\ \dfrac{x}{2} = - \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{x}{2} + k2\pi \\\end{array} \right.$


$\Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi$ (nhận)

Trường hợp 2:

$\cos \dfrac{x}{2} - \sin \dfrac{x}{2} - 2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2} = 0$

Đặt $t = \cos \dfrac{x}{2} - \sin \dfrac{x}{2} = \sqrt 2 \cos \left( {\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right)$ (với $- \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2$)

Suy ra $2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2} = 1 - {t^2}$

Ta có phương trình:

${t^2} + t - 1 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2} \\ t = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow t = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}$ (so với điều kiện)

$\to \sqrt 2 \cos \left( {\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}$

$\to \cos \left( {\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{{2\sqrt 2 }}$

$\to \dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi }{4} = \pm \arccos \left( {\dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{{2\sqrt 2 }}} \right) + m2\pi$

$\to x = \pm 2\arccos \left( {\dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{{2\sqrt 2 }}} \right) - \dfrac{\pi }{2} + m4\pi$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm:

$x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi$ hay $x = \pm 2\arccos \left( {\dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{{2\sqrt 2 }}} \right) - \dfrac{\pi }{2} + m4\pi$

(với $l$, $k$, $m$ nguyên)

Bài 2

$\sin A + \sin B + \sin C = 1 + \cos A + \cos B + \cos C$

$\Leftrightarrow 2\sin \dfrac{{A + B}}{2}\cos \dfrac{{A - B}}{2} + 2\sin \dfrac{C}{2}\cos \dfrac{C}{2}$
$= 1 + 2\cos \dfrac{{A + B}}{2}\cos \dfrac{{A - B}}{2} + 2{\cos ^2}\dfrac{C}{2} - 1$

$\Leftrightarrow 2\cos \dfrac{C}{2}\cos \dfrac{{A - B}}{2} + 2\sin \dfrac{C}{2}\cos \dfrac{C}{2} = 2\sin \dfrac{C}{2}\cos \dfrac{{A - B}}{2} + 2{\cos ^2}\dfrac{C}{2}$

$\Leftrightarrow \left( {\cos \dfrac{{A - B}}{2} - \cos \dfrac{C}{2}} \right)\left( {\cos \dfrac{C}{2} - \sin \dfrac{C}{2}} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \dfrac{{A - B}}{2} = \cos \dfrac{C}{2} \\ \cos \dfrac{C}{2} = \sin \dfrac{C}{2} \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \dfrac{{A - B}}{2} = \cos \dfrac{C}{2} \\ \cos \dfrac{C}{2} = \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{C}{2}} \right) \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A - B = C \\ A - B = - C \\ \dfrac{C}{2} = \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{C}{2} \\ \dfrac{C}{2} = \dfrac{C}{2} - \dfrac{\pi }{2} \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = B + C \\ B = A + C \\ C = \dfrac{\pi }{2} \\ \end{array} \right.$

Vậy tam giác $ABC$ vuông tại $A$, tại $B$ hoặc tại $C$