mybubulov3

Bài 1: Cho $a, b, c>0$. Chứng minh:
$\sum \dfrac{2a^2(b+c)}{(c+a)(a+b))} \leqslant a+b+c$
Bài 2: Cho $a, b, c>0$. Chứng minh:
$\sum \dfrac{2a^2-a(b+c)}{2a^2+(b+c)^2} \geqslant 0$
Chú ý: Chỉ dùng tiêu chuẩn đầu tiên của S.O.S. ($S_a, S_b, S_c \geqslant 0$)

Cho em hỏi bộ sách "Tài liệu giáo khoa chuyên toán" có phải là bộ sách chính thức dùng cho học sinh chuyên toán mà trong trường dạy không? Tiện thể, cho em hỏi luôn lớp 10 thì nên đọc sách toán gì? Và mấy cuốn này, với cái bộ sách "TLGK chuyên" kia, thì bán ở đâu? (Em ở TP.HCM)

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (4 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) $(x^2-4x)^2-4(x-2)^2+19=0$
b) $\left\{\begin{array}{l}x^2+xy=2\\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=x+\dfrac{2}{x+y}\end{array}\right.$

Câu 2. (3 điểm) Trong hệ trục toạ độ $Oxy$, cho parabol $(P): y=\dfrac{1}{2}x^2$ và đường thẳng $(d): mx-y+1=0$ ($m$ là tham số).
a) Chứng tỏ $(d)$ luộn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$.
b) Định $m$ để tam giác $OAB$ có diện tích bằng $\dfrac{3}{2}$.

Câu 3. (3 điểm)
a) Tìm đa thức dư khi chia $x^6$ cho $x^2-x-1$.
b) Giả sử $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình $x^2-x-1=0$. Tính giá trị của biểu thức
$A=(x_1^{2011}-x_1^{2012}+x_1^{2008}+x_1^{2009}+x_1^6-5+x_2)(x_2^{2011}-x_2^{2012}+x_2^{2008}+x_2^{2009}+x_2^6-5+x_1)$

Câu 4. (2 điểm) Tìm các số nguyên $x, y$ thoả: $5x^2+y^2-2xy+2x-6y+1<0$.

Câu 5. (3 điểm) Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Từ điểm $D$ trên cung nhỏ $AB$ của đường tròn $(O)$, ta kẻ đường thẳng vuông góc với $AD$, đường thẳng này cắt cạnh $BC$ tại $M$. Đường trung trực của $DM$ cắt các cạnh $AB, AC$ lần lượt tại $E$ và $F$. Chứng minh $AEMF$ là hình bình hành.

Câu 6. (2 điểm) Cho tam giác $ABC$ có hai đường phân giác trong $BD$ và $CE$. $M$ là một điểm bất kỳ trên đoạn $DE$. Gọi $H, K, L$ lần lượt là hình chiếu của $M$ trên các cạnh $BC, CA, AB$. Chứng minh $MH=MK+ML$.

Câu 7. (3 điểm) Cho $a, b, c$ là ba số dương thoả điều kiện $ab+bc+ca=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\dfrac{\sqrt{a^2+1}.\sqrt{b^2+1}}{\sqrt{c^2+1}}+\dfrac{\sqrt{b^2+1}.\sqrt{c^2+1}}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{\sqrt{c^2+1}.\sqrt{a^2+1}}{\sqrt{b^2+1}}$

HẾT