tda

Câu 3b: Không mất tổng quát, ta coi G thuộc tia đối của tia BC. Ta cần cm H là trực tâm tam giác AGN . Dựa vào phần a, dễ thấy A,M,F,H,E thuộc đường tròn đk AH. Vậy để cm H là trực tâm AGN thì ta cần cm N,H,M thẳng hàng.
Cách 1:
Cm NM vuông góc với AG hay AMDN nội tiếp <=> GD.GN=GM.GA (1). Do AMEF nội tiếp nên GM.GA=GF.GE nên (1)<=> GD.GN=GF.GE <=> EFDN nội tiếp.
Vì N là trung điểm BC mà tam giác BEC vuông tại E nên góc :widehat{BEN} phụ với góc C = :widehat{HAE} mà :widehat{FEH} = :widehat{FAH} do đó :widehat{FEN}= :widehat{FAE} = góc A = :widehat{FDB} (do ACDF nội tiếp) => EFDN nội tiếp. Vậy NM vuông góc với AG mà HM cũng vuông góc với AG do đó N,H,M thẳng hàng.

Cách 2:
(Hơi hiểm) Kéo dài MH cắt đường tròn (O) tại K => AK là một đường kính => BHCK là một hình bình hành => HK đi qua trung điểm N của BC =>H,N,M thẳng hàng.

Câu 2: Đặt k= phần nguyên của :sqrt{n} . Khi đó k^{2} n< k^{2} +2k+1.
TH1: k lẻ.
- Xét k=1 => n=1,2,3.
-Xét k 3 khi đó k(k-2)|n. Do k|n => n= k^{2}+r với r=0,k,2k.
+Nếu r=0 thì do (k-2)|n => (k-2)| k => k=3 => n=9 t/m.
+Nếu r=k thì do (k-2)|n => (k-2)|(k+1) =>(k-2)|3=> k=3,5. Với k=3 thì n=12, với k=5 thì n=30.
+Nếu r=2k thì do (k-2)|n => (k-2)|(k+2) => (k-2)|4 =>k=3 => n=15.

TH2: k chẵn.
-Xét k= 2 => n=4,5,6,7,8.
-xét k= 4 => n=18,21,24.
-xét k 6. Ta có (k-1)(k-3)|n. Đặt n= k^{2}+r, 0 r 2k. Khi đó n= (k-1)^{2} +r+2k-1.Do (k-1)|n nên r+1=k-1 hoặc 2k-2
+nếu r+1=k-1 thì do (k-3)|n ta có (k-3)|k+7=>k=8 => n=70 không thỏa mãn.
+nếu r+1=2k-2 thì do (k-3)|n ta có(k-3)|k+3=> k=6 => n=45 thỏa mãn.

Để ý rằng nếu hai số không nguyên tố cùng nhau thì không được cùng có mặt trong một bảng con kích thước 2*2. Ta chia bảng đã cho thành 25 bảng con 2*2 rời nhau. Trong mỗi bảng con này có không qua một số chẵn do đó số lượt số chẵn xuất hiện không vượt quá 25. Mặt khác trong mỗi bảng con này thì chỉ có không quá một trong hai số 3 hoặc 9 xuất hiện vì vậy tổng số lượt xuất hiện của 3 và 9 không vượt quá 25. Do đó tổng số lượt xuất hiện của các số 1,5,7 ít nhất là 100-25-25=50 => một trong ba số 1,5,7 xuất hiện ít nhất 17 lần. Bài này có trong một tài liệu Olympic của một nước nào đó mà tôi đã đọc được đầu bài, hiện chưa tìm ra.
Khanh.CVP