milinh7a

dùng cái này http://diendantoanho...bc/#entry373089
bđt cần cm tương đương với: $3(a^3+b^3+c^3+ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a))+13abc\geq 5ab(a+b)+5bc(b+c)+5ca(c+a)\Leftrightarrow 3(a^3+b^3+c^3)+3abc\geq 2ab(a+b)+2bc(b+c)+2ca(c+a)$
Đến đây dùng Schur và bđt $2(a^3+b^3+c^3)\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$ là ra

mình thấy học những bđt cao siêu quá như dồn biến, SOS,... khi làm mấy bài đơn giản cũng lôi ra chém thì chả đẹp tí nào . Nói chung là chỉ cần biết sơ sơ mấy cái này, còn lại làm cách càng đơn giản càng hay

Vế trái cỏ thể phân tích đa thức thành nhân tử.Như vậy
$(x-3y)(x-2y)(x-y)(x+2y)(x+3y)=77$
Mà $77=7.11$ như vậy trong các số đó phải có 4 số một.Mà như vậy thì vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm nguyên

Nghiệm nguyên chứ ko phải nguyên dương đâu bạn

(x-y)(x-2y)(x-3y)(x+2y)(x+3y)=77
y=0 không phải là nghiệm
nếu y<0 thì x-y>x-2y>x-3y>x+2y>x+3y
nếu y>0 thì x-y<x-2y<x-3y<x+2y<x+3y
Số 77 khi phân tích ra thành tích của 5 số nguyên thì sẽ có hai thừa số cùng có giá trị 1 hoặc -1$\Rightarrow$ vô lý. Vậy ko pt đã cho không có nghiệm nguyên

$(x+y)(y+z)(z+x)=\frac{(x+y+z)^{3}-x^3-y^3-z^3}{3}=8$
vì x+y+y+z+z+x chẵn nên trong ba số x+y, y+z, z+x phải có 3 số chẵn hoặc 2 số lẻ, một số chẵn$\Rightarrow (x+y)(y+z)(z+x)=2.2.2=2.(-2).(-2)$ sau đó giải các hệ pt tìm đc x, y, z