luvHg

Bài 1:
Chia hình đã cho thành 16 hình vuông nhỏ cạnh 5 thì có ít nhất 6 điểm cùng thuộc 1 hình vuông nhỏ, hình vg nhỏ có đường chéo bằng $ \sqrt{50} $ <8 nên thuộc đường tròn bán kính 4
Bài 2:
Có 1 ng` A quen 67 người khác
Ta cần CM trong 67 ngừoi này(Giờ ta sẽ chỉ xét trong 67 người đó) có ít nhất 3 ngừoi đôi 1 quen nhau với mỗi ngừoi quen ít nhất 67-32-1=34 ngừoi
Thật vậy giả sử B là người quen ít nhât trong 67 n` đó
C là một trong số những người B quen , C lại quen ít nhât 33 người khác B nên phải có ngừoi C và B cùng quen
là D
Vậy bộ ABCD là 4 ngừoi cần tìm!

hehe mình khai trương phiếu đầu cho Toán rời rạc đây !Mình thik làm toán rời rạc vì nó khá đa dạng, logic nhiều và còn có nhiều mẹo vặt nữa!

Ta thấy ngũ giác đều thỏa mãn. Các đường chéo kẻ từ mỗi đỉnh là 2
Giả sử đa giác có >5 đỉnh.=>có ít nhất 3 đường chéo kẻ từ 1 đỉnh bất kỳ tới các đỉnh còn lại không kề nó
Giả sử có 3 đường chéo là AB,AC,AD bằng nhau( AC nằm giữa tia AB và AD)
=> BD cũng là 1 đường chéo => BD=AB=AD=AC
=>tam giác ABD đều
Lại có AB=AC, nếu BC cũng là 1 đường chéo thì tam giác ABC đều
=> loại
Vậy BC chỉ là 1 cạnh
=> đa giác thỏa mãn có < 7 đỉnh
Nếu đa giác tm có 6 đỉnh ta CM dc đa giác đó là lục giác đều nhưng ở đây lại có AC không bằng AB nên loại
Vậy có nhiều nhất 5 đỉnh!

Bài 2
Ta có để A nguyên thì 12$ n^{2}+1=(2k+1)^{2} $(do lẻ)
<=> $3n^{2}= k^{2}+k$
<=>$ n^{2}= \dfrac{k(k+1)}{3} $
Nếu k=3a với a tự nhiên thì =>$ n^{2}=a(3a+1) $
Mà a và 3a+1 ng tố cùng nhau =>3a+1 là scp
Khi đó A=2+2(6a+1)=12a+4=4(3a+1) là scp
Nếu k= 3a-1 thì ta cũng làm tương tự => A là scp !

Bài 10 luôn nè:
$ 3^{n} +427= a^{2} $.Có 427=61.7=427.1
Nếu n chẵn=2k
=> $427=(a-3^{k})(a+3^{k}) $
Vì (427-1)/2 ko là lũy thừa của 3 =>loại
Có (61-7)/2 = 27 nên $ 3^{k} =3^{3}, n=6$ thỏa mãn
Nếu n lẻ thì $ 3^{n}$ chia 4 dư 3=> $ 3^{n} +427 $chia 4 dư 2 nên ko là scp
Vậy ta tìm được n=6!

Bài 7
Ta cần CM A=2d-1, B=5d-1, C=13d-1 không cùng là scp!
Xét số dư khi chia cho 9. Giả sử d=9k+r (r<9)
Một scp chia 9 dư 0,1, hoặc 4
=>2r-1 chia 9 dư 0,1 hoặc 4
Vì r<9 nên r thuộc 5, 1, 7
Nếu r =5 thì 5d-1 chia 9 dư 3 loại
Nếu r=1 thì 13d-1 chia 9 dư 3 loại
Nếu r=7 thì 5d-1 chia 9 du7 loại
Vậy ta có đpcm!