Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


RainThunde

Đăng ký: 20-04-2010
Offline Đăng nhập: 19-10-2016 - 08:48
-----

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Tìm GTLN,GTNN: $ x^{2}+y^{2}-7xy$

02-05-2014 - 02:27

Vậy điều kiện của $xy$ là gì bạn???

Do x > 0, y > 0 nên theo AM - GM $4xy=x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow 2\sqrt{xy}(2\sqrt{xy}-1)\geq 0\Rightarrow xy\geq \frac{1}{4}$

Vậy $1\geq xy\geq\frac{1}{4}$


Trong chủ đề: CMR: $(\frac{a}{a+b})^2+(\frac{b...

22-04-2014 - 02:29

Đặt $x=b/a$, $y=c/b$, $z=a/c\Rightarrow xyz=1$. Bđt đã cho trở thành:

$\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}\geq \frac{3}{4}$

Bạn có thể tham khảo cách chứng minh bài này ở đây: http://diendantoanho...eft-1a-right-2/


Trong chủ đề: $\left | x^2-y^2+2\sqrt{3}xy-2(1+2\sqrt...

19-04-2014 - 02:32

có thể giúp e biến đổi chỗ này không em biến đổi mãi mà không ra

Do x + 1 > 0, y + 1 > 0, $\Rightarrow \frac{x+y}{2}+1>0$. Ta có:
$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}\leq 2\frac{\frac{x+y}{2}}{\frac{x+y}{2}+1}$
$\Leftrightarrow \frac{xy+x+xy+y}{(x+1)(y+1)}\leq \frac{2(x+y)}{x+y+2}$

$\Leftrightarrow (2xy+x+y)(x+y+2)\leq 2(x+y)(xy+x+y+1)$

$\Leftrightarrow 2xy(x+y)+(x+y)^2+4xy+2(x+y)\leq 2xy(x+y)+2(x+y)^2+2(x+y)$

$\Leftrightarrow 4xy\leq (x+y)^2\Leftrightarrow (x-y)^2\geq 0$


Trong chủ đề: Tìm min, Max

18-04-2014 - 03:02

Bài 2: Cho $x, y \in \mathbb{R} ; x^2 + y^2 = xy + 3$
Tìm min, Max của $Q = \frac{1}{x^3 + y^3} + \frac{1}{xy}$

$x^2+y^2=xy+3\Leftrightarrow xy=\frac{(x+y)^2-3}{3}$. Thay vào biểu thức Q:
$Q=\frac{1}{(x+y)^3-3xy(x+y)}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{3(x+y)}+\frac{3}{(x+y)^2-3}$
 
Đặt $x+y=t$, xét hàm $f(t)=\frac{1}{3t}+\frac{3}{t^2-3}$
Ta có $xy=\frac{(x+y)^2-3}{3}\leq \frac{(x+y)^2}{4}$ với mọi $x\in \mathbb{R}\Rightarrow -2\sqrt{3}\leq x+y\leq 2\sqrt{3}$
Dựa vào bảng biến thiên của f(t) ta thấy f(t) không đạt GTLN và GTNN trên $[-2\sqrt{3},2\sqrt{3}]$
 
Lưu ý: Thực ra phương trình f'(t)=0 có nghiệm khá lẻ xấp xỉ -0.7
 
 

Bài 3: Cho $x, y \in \mathbb{R} ; x^2 + xy + y^2 = 3$
Tìm min, Max của $S = x^3 + y^3 - 3x - 3y$

$x^2+xy+y^2=3\Leftrightarrow xy=\frac{(x+y)^2}{3}$. Thế vào biểu thức S:
$S=(x+y)^3-3xy(x+y)-3(x+y)=-2(x+y)^3+6(x+y)$
 
Đặt $x+y=t$, xét hàm $f(t)=-2t^3+6t$.
Ta có $xy=(x+y)^2-3\leq \frac{(x+y)^2}{4}$ với mọi x, nên $-2\leq x+y\leq 2$
$f'(t)=-6t^2+6=0\Leftrightarrow t=\pm 1$
 
Dựa vào bảng biến thiên của hàm f(t) trên [-2, 2]:
- S đạt GTLN bằng 4, xảy ra khi và chỉ khi t = 1 hoặc t = -2, hay (x, y) = {(-1, -1); (-1, 2); (2, -1)}
- S đạt GTNN bằng -4, xảy ra khi và chỉ khi t = -1 hoặc t = 2, hay (x, y) = {(1, 1); (1, -2); (2, -1)}

Trong chủ đề: A= $\sqrt{2x^{2}+2y^{2}-2x+2y+1}+...

16-04-2014 - 02:10

Cách giải hình học:

$A=\sqrt{2}\left (\sqrt{x^2+y^2-x+y+\frac{1}{2}}+\sqrt{x^2+y^2+x-y+\frac{1}{2}}+\sqrt{x^2+y^2+2x+2y+2}\right )$

$=\sqrt{2}\left (\sqrt{\left (x-\frac{1}{2}\right )^2+\left (y+\frac{1}{2}\right )^2}+\sqrt{\left (x+\frac{1}{2}\right )^2+\left (y-\frac{1}{2}\right )^2}+\sqrt{(x+1)^2+(y+1)^2}\right )$

 

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy các điểm $A\left (\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right )$, $B\left (-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right )$, C(-1, -1). Ta cần tìm GTNN của $\sqrt{2}(MA+MB+MC)$.

 

Để MA + MB + MC đạt GTNN thì M phải là điểm Fermat (hay điểm Torricelli) của tam giác ABC (mình sẽ không chứng minh, các bạn có thể tham khảo Google hoặc http://en.wikipedia....ki/Fermat_point). Dễ thấy tam giác ABC nhọn nên M sẽ nằm trong tam giác. Cách dựng điểm M như sau:

- Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABC', CAB'

- Giao điểm của BB' và CC' là điểm M cần tìm.

 

Ta tính được

$C' = \left (\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right )$, phương trình đường thẳng CC': $x-y=0$

$B' = \left (-\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}, -\frac{3}{4}-\frac{3\sqrt{3}}{4}\right )$, phương trình đường thẳng BB': $\left (\frac{5}{4}+\frac{3\sqrt{3}}{4}\right )x+\left (\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}\right )y+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}=0$

 

Suy ra $M=\left (-\frac{\sqrt{3}}{6},-\frac{\sqrt{3}}{6}\right )$, khi đó biểu thức A đạt GTNN là $2+\sqrt{3}$