RainThunde

Vậy điều kiện của $xy$ là gì bạn???

Do x > 0, y > 0 nên theo AM - GM $4xy=x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow 2\sqrt{xy}(2\sqrt{xy}-1)\geq 0\Rightarrow xy\geq \frac{1}{4}$

Vậy $1\geq xy\geq\frac{1}{4}$

Đặt $x=b/a$, $y=c/b$, $z=a/c\Rightarrow xyz=1$. Bđt đã cho trở thành:

$\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}\geq \frac{3}{4}$

Bạn có thể tham khảo cách chứng minh bài này ở đây: http://diendantoanho...eft-1a-right-2/

có thể giúp e biến đổi chỗ này không em biến đổi mãi mà không ra

Do x + 1 > 0, y + 1 > 0, $\Rightarrow \frac{x+y}{2}+1>0$. Ta có:
$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}\leq 2\frac{\frac{x+y}{2}}{\frac{x+y}{2}+1}$
$\Leftrightarrow \frac{xy+x+xy+y}{(x+1)(y+1)}\leq \frac{2(x+y)}{x+y+2}$

$\Leftrightarrow (2xy+x+y)(x+y+2)\leq 2(x+y)(xy+x+y+1)$

$\Leftrightarrow 2xy(x+y)+(x+y)^2+4xy+2(x+y)\leq 2xy(x+y)+2(x+y)^2+2(x+y)$

$\Leftrightarrow 4xy\leq (x+y)^2\Leftrightarrow (x-y)^2\geq 0$

Bài 2: Cho $x, y \in \mathbb{R} ; x^2 + y^2 = xy + 3$
Tìm min, Max của $Q = \frac{1}{x^3 + y^3} + \frac{1}{xy}$

$x^2+y^2=xy+3\Leftrightarrow xy=\frac{(x+y)^2-3}{3}$. Thay vào biểu thức Q:
$Q=\frac{1}{(x+y)^3-3xy(x+y)}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{3(x+y)}+\frac{3}{(x+y)^2-3}$
 
Đặt $x+y=t$, xét hàm $f(t)=\frac{1}{3t}+\frac{3}{t^2-3}$
Ta có $xy=\frac{(x+y)^2-3}{3}\leq \frac{(x+y)^2}{4}$ với mọi $x\in \mathbb{R}\Rightarrow -2\sqrt{3}\leq x+y\leq 2\sqrt{3}$
Dựa vào bảng biến thiên của f(t) ta thấy f(t) không đạt GTLN và GTNN trên $[-2\sqrt{3},2\sqrt{3}]$
 
Lưu ý: Thực ra phương trình f'(t)=0 có nghiệm khá lẻ xấp xỉ -0.7
 
 

Bài 3: Cho $x, y \in \mathbb{R} ; x^2 + xy + y^2 = 3$
Tìm min, Max của $S = x^3 + y^3 - 3x - 3y$

$x^2+xy+y^2=3\Leftrightarrow xy=\frac{(x+y)^2}{3}$. Thế vào biểu thức S:
$S=(x+y)^3-3xy(x+y)-3(x+y)=-2(x+y)^3+6(x+y)$
 
Đặt $x+y=t$, xét hàm $f(t)=-2t^3+6t$.
Ta có $xy=(x+y)^2-3\leq \frac{(x+y)^2}{4}$ với mọi x, nên $-2\leq x+y\leq 2$
$f'(t)=-6t^2+6=0\Leftrightarrow t=\pm 1$
 
Dựa vào bảng biến thiên của hàm f(t) trên [-2, 2]:
- S đạt GTLN bằng 4, xảy ra khi và chỉ khi t = 1 hoặc t = -2, hay (x, y) = {(-1, -1); (-1, 2); (2, -1)}
- S đạt GTNN bằng -4, xảy ra khi và chỉ khi t = -1 hoặc t = 2, hay (x, y) = {(1, 1); (1, -2); (2, -1)}

Cách giải hình học:

$A=\sqrt{2}\left (\sqrt{x^2+y^2-x+y+\frac{1}{2}}+\sqrt{x^2+y^2+x-y+\frac{1}{2}}+\sqrt{x^2+y^2+2x+2y+2}\right )$

$=\sqrt{2}\left (\sqrt{\left (x-\frac{1}{2}\right )^2+\left (y+\frac{1}{2}\right )^2}+\sqrt{\left (x+\frac{1}{2}\right )^2+\left (y-\frac{1}{2}\right )^2}+\sqrt{(x+1)^2+(y+1)^2}\right )$

 

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy các điểm $A\left (\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right )$, $B\left (-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right )$, C(-1, -1). Ta cần tìm GTNN của $\sqrt{2}(MA+MB+MC)$.

 

Để MA + MB + MC đạt GTNN thì M phải là điểm Fermat (hay điểm Torricelli) của tam giác ABC (mình sẽ không chứng minh, các bạn có thể tham khảo Google hoặc http://en.wikipedia....ki/Fermat_point). Dễ thấy tam giác ABC nhọn nên M sẽ nằm trong tam giác. Cách dựng điểm M như sau:

- Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABC', CAB'

- Giao điểm của BB' và CC' là điểm M cần tìm.

 

Ta tính được

$C' = \left (\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right )$, phương trình đường thẳng CC': $x-y=0$

$B' = \left (-\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}, -\frac{3}{4}-\frac{3\sqrt{3}}{4}\right )$, phương trình đường thẳng BB': $\left (\frac{5}{4}+\frac{3\sqrt{3}}{4}\right )x+\left (\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}\right )y+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}=0$

 

Suy ra $M=\left (-\frac{\sqrt{3}}{6},-\frac{\sqrt{3}}{6}\right )$, khi đó biểu thức A đạt GTNN là $2+\sqrt{3}$