Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


RainThunde

Đăng ký: 20-04-2010
Offline Đăng nhập: 19-10-2016 - 08:48
-----

#493845 $\left | x^2-y^2+2\sqrt{3}xy-2(1+2\sqrt{3...

Gửi bởi RainThunde trong 19-04-2014 - 02:32

có thể giúp e biến đổi chỗ này không em biến đổi mãi mà không ra

Do x + 1 > 0, y + 1 > 0, $\Rightarrow \frac{x+y}{2}+1>0$. Ta có:
$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}\leq 2\frac{\frac{x+y}{2}}{\frac{x+y}{2}+1}$
$\Leftrightarrow \frac{xy+x+xy+y}{(x+1)(y+1)}\leq \frac{2(x+y)}{x+y+2}$

$\Leftrightarrow (2xy+x+y)(x+y+2)\leq 2(x+y)(xy+x+y+1)$

$\Leftrightarrow 2xy(x+y)+(x+y)^2+4xy+2(x+y)\leq 2xy(x+y)+2(x+y)^2+2(x+y)$

$\Leftrightarrow 4xy\leq (x+y)^2\Leftrightarrow (x-y)^2\geq 0$




#493654 Tìm min, Max

Gửi bởi RainThunde trong 18-04-2014 - 03:02

Bài 2: Cho $x, y \in \mathbb{R} ; x^2 + y^2 = xy + 3$
Tìm min, Max của $Q = \frac{1}{x^3 + y^3} + \frac{1}{xy}$

$x^2+y^2=xy+3\Leftrightarrow xy=\frac{(x+y)^2-3}{3}$. Thay vào biểu thức Q:
$Q=\frac{1}{(x+y)^3-3xy(x+y)}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{3(x+y)}+\frac{3}{(x+y)^2-3}$
 
Đặt $x+y=t$, xét hàm $f(t)=\frac{1}{3t}+\frac{3}{t^2-3}$
Ta có $xy=\frac{(x+y)^2-3}{3}\leq \frac{(x+y)^2}{4}$ với mọi $x\in \mathbb{R}\Rightarrow -2\sqrt{3}\leq x+y\leq 2\sqrt{3}$
Dựa vào bảng biến thiên của f(t) ta thấy f(t) không đạt GTLN và GTNN trên $[-2\sqrt{3},2\sqrt{3}]$
 
Lưu ý: Thực ra phương trình f'(t)=0 có nghiệm khá lẻ xấp xỉ -0.7
 
 

Bài 3: Cho $x, y \in \mathbb{R} ; x^2 + xy + y^2 = 3$
Tìm min, Max của $S = x^3 + y^3 - 3x - 3y$

$x^2+xy+y^2=3\Leftrightarrow xy=\frac{(x+y)^2}{3}$. Thế vào biểu thức S:
$S=(x+y)^3-3xy(x+y)-3(x+y)=-2(x+y)^3+6(x+y)$
 
Đặt $x+y=t$, xét hàm $f(t)=-2t^3+6t$.
Ta có $xy=(x+y)^2-3\leq \frac{(x+y)^2}{4}$ với mọi x, nên $-2\leq x+y\leq 2$
$f'(t)=-6t^2+6=0\Leftrightarrow t=\pm 1$
 
Dựa vào bảng biến thiên của hàm f(t) trên [-2, 2]:
- S đạt GTLN bằng 4, xảy ra khi và chỉ khi t = 1 hoặc t = -2, hay (x, y) = {(-1, -1); (-1, 2); (2, -1)}
- S đạt GTNN bằng -4, xảy ra khi và chỉ khi t = -1 hoặc t = 2, hay (x, y) = {(1, 1); (1, -2); (2, -1)}


#492582 Tìm GTLN của $A = 4\left ( \sum \sqrt{a} \...

Gửi bởi RainThunde trong 13-04-2014 - 02:42

1) Xét hàm số $f(x)=4\sqrt{x}-x^2$

$f'(x)=\frac{2}{\sqrt{x}}-2x=0\Leftrightarrow x=1$

Từ bảng biến thiên của hàm số f(x) ta thu được $f(x)\leq 3$ với mọi x>0

Vậy GTLN của A là 9, xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

 

2) $B\leq 2(a^2+b^2+c^2)-4(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})-3(a^2+b^2+c^2)=A$

Vậy GTLN của B là 9, xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

 

3) Theo câu 2:

$C=\frac{ab+bc+ca+2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}{a^2+b^2+c^2+3}\leq \frac{9+3(a^2+b^2+c^2)}{2(a^2+b^2+c^2+3)}=\frac{3}{2}$

Vậy GTLN của C là $\frac{3}{2}$, xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$.




#491866 P=$4(\frac{b}{a+c}+\frac{c}...

Gửi bởi RainThunde trong 10-04-2014 - 01:46

$(a+b)(a+c)=4a^2\Rightarrow \left (1+\frac{b}{a}\right )\left (1+\frac{c}{a}\right )=4$

Đặt $x=\frac{b}{a}$, $y=\frac{c}{a}$, ta có $(1+x)(1+y)=4\Leftrightarrow x+y+xy=3$

 

$\Rightarrow P=4\left (\frac{x}{1+x}+\frac{y}{1+y}\right )+2xy-\sqrt{7-3xy}$

$\Rightarrow P=x+y+4xy-\sqrt{7-3xy}=3+3xy-\sqrt{7-3xy}$

 

Đặt $t=xy$. Theo AM-GM $3=x+y+xy\geq xy+2\sqrt{xy}\Rightarrow 1\geq t>0$

 

Xét hàm $f(t)=3+3t-\sqrt{7-3t}$.

Ta có $f'(t)=3+\frac{21}{2\sqrt{7-3t}}>0\Rightarrow $ f(t) đồng biến trong khoảng (0; 1], do đó $f(t)>f(0)=3-7\sqrt{7}$

 

Vậy P không tồn tại GTNN




#491863 Tìm GTNN $P=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz$

Gửi bởi RainThunde trong 10-04-2014 - 01:12

 

bạn ơi mình chưa hiểu tại sao 

$xyz\geq (x+y-z)(x+z-y)(z+y-x)$

Chứng minh:

- Nếu $x+y-z<0\Rightarrow y+z-x>2y>0$ và $z+x-y>2x>0$

$\Rightarrow xyz>0>(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)$.

Tương tự cho các trường hợp $y+z-x<0$ và $z+x-y<0$

 

- Nếu $x+y-z\geq 0$, $y+z-x\geq 0$ và $z+x-y\geq 0$:

Theo AM-GM $\sqrt{(x+y-z)(y+z-x)}\leq y$

$\sqrt{(y+z-x)(z+x-y)}\leq z$

$\sqrt{(z+x-y)(x+y-z)}\leq x$

Nhân từng vế 3BĐT trên ta được $xyz\geq (x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)$

 

- Vậy BĐT đã cho đúng.

 

Nhận xét: Nếu khai triển ra thì đây là bđt Schur với n=1

$a^3+b^3+c^3+3abc\geq a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)$




#491356 $P=\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}...

Gửi bởi RainThunde trong 08-04-2014 - 01:56

Bài này nằm trong đề thi Olympic Toán Mỹ năm 1980.

 

Giả sử $x\geq y\geq z$. Ta có:

$3\sqrt[3]{(1-y)(1-z)(y+z+1)}\leq (1-y)+(1-z)+(y+z+1)=1$

$\Rightarrow (1-x)(1-y)(1-z)\leq \frac{1-x}{y+z+1}$

$\Rightarrow \frac{x}{y+z+1}+(1-x)(1-y)(1-z)\leq \frac{1}{y+z+1}$ (1)

 

Mặt khác $x\geq y\geq z$

$\Rightarrow \frac{y}{x+z+1}\leq \frac{y}{y+z+1}$ (2)

$\frac{z}{x+y+1}\leq \frac{z}{y+z+1}$ (3)

 

Từ (1), (2), (3)

$\Rightarrow \frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{z+x+1}+\frac{z}{x+y+1}+(1-x)(1-y)(1-z)\leq 1$

 

Vậy GTLN của P = 1, xảy ra $\Leftrightarrow (x,y,z)=(1,0,0)$ hoặc $(1,1,0)$ và các hoán vị




#489937 $\left | x^2-y^2+2\sqrt{3}xy-2(1+2\sqrt{3...

Gửi bởi RainThunde trong 01-04-2014 - 01:50

1) Trước hết ta chứng minh $\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}\leq2\frac{\frac{x+y}{2}}{\frac{x+y}{2}+1}$ với x, y > -1.

Sau khi biến đổi (với x, y > -1), bất đẳng thức trên tương đương với $(x-y)^2\geq0$.

 

Ta có:

$Q=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+4}$

$\leq2\frac{\frac{x+y}{2}}{\frac{x+y}{2}+1}+\frac{z}{z+4}=\frac{2z}{z-2}+\frac{z}{z+4}$

eq1_zps206570e0.jpg

 

Ta có $x>-1$, $y>-1$ nên $z<2$.

 

Lập bảng biến thiên hàm eq3_zps0512c46a.jpg trong khoảng (-4,2), ta tìm được GTLN của Q là $\frac{1}{3}$, xảy ra $\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$, $z=-1$

 
2) $x^2+y^2-2x-4y+4=0\Leftrightarrow (x-1)^2+(y-2)^2=1$. Đặt $x-1=a$, $y-2=b\Rightarrow a^2+b^2=1$
 
$|x^2-y^2+2\sqrt{3}xy-2(1+2\sqrt{3})x+(4-2\sqrt{3})y+4\sqrt{3}-3|=|a^2-b^2+2\sqrt{3}ab|$.
 
Theo BĐT Cauchy - Schwarz:
$|a^2-b^2+2\sqrt{3}ab|$
$\leq\sqrt{[(a^2-b^2)^2+4a^2b^2][1+(\sqrt{3})^2]}$
$=\sqrt{4(a^2+b^2)^2}=2$
 
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $b=\frac{1}{2}$ hay $x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}$, $y=\frac{5}{2}$
Nhận xét: Bài này có thể lượng giác hóa.



#489770 Tìm giá trị lớn nhất của $x^{2}y+y^{2}z+z^{2...

Gửi bởi RainThunde trong 31-03-2014 - 01:01

Nếu không có giả thiết $x,y,z\geq0$ thì ta có thể chọn $x$ là một số âm nhỏ tùy ý, $y=1-x$ và $z=0$. Khi đó biểu thức $x^2y+y^2z+z^2x$ không có giá trị lớn nhất.
 
Đây là lời giải cho trường hợp $x,y,z\geq0$
Giả sử $x = max\{x,y,z\}$. Ta có:
$P=x^2y+y^2z+z^2x \leq x^2y+xyz+\frac{1}{2}zx^2+\frac{1}{2}z^2x = x\left(x+z\right)\left(y+\frac{z}{2}\right)$
Theo AM-GM:
$P \leq 4\left(\frac{\frac{x}{2}+\frac{x+z}{2}+y+\frac{z}{2}}{3}\right)^3=\frac{4}{27}$
Vậy GTLN của $x^2y+y^2z+z^2x$ là $\frac{4}{27}$ $\Leftrightarrow$ $x = \frac{2}{3}$, $y = \frac{1}{3}$, $z = 0$ và các hoán vị.



#488897 C/m: $3\sqrt{1+2x^2}+2\sqrt{40+9y^2}\...

Gửi bởi RainThunde trong 26-03-2014 - 17:10

Nếu bạn đã học khảo sát hàm số thì chỉ cần thay $y=1-x$ sau đó khảo sát vế trái là ra kết quả.

Nếu bạn chưa học khảo sát thì có thể chứng minh hai bđt sau bằng biến đổi tương đương

$3\sqrt{1+2x^2}\geq\frac{6}{\sqrt{11}}\left(x-\frac{1}{3}\right)+\sqrt{11}$

$2\sqrt{40+9y^2}\geq\frac{6}{\sqrt{11}}\left(y-\frac{2}{3}\right)+4\sqrt{11}$

cộng từng vế 2 bđt trên ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=\frac{1}{3}$, $y=\frac{2}{3}$




#240223 Đề thi môn Vật lý KSTN 2010

Gửi bởi RainThunde trong 09-09-2010 - 17:53

Xem file đính kèm (file ảnh)

Hình gửi kèm

  • Picture2_070.jpg