RainThunde

có thể giúp e biến đổi chỗ này không em biến đổi mãi mà không ra

Do x + 1 > 0, y + 1 > 0, $\Rightarrow \frac{x+y}{2}+1>0$. Ta có:
$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}\leq 2\frac{\frac{x+y}{2}}{\frac{x+y}{2}+1}$
$\Leftrightarrow \frac{xy+x+xy+y}{(x+1)(y+1)}\leq \frac{2(x+y)}{x+y+2}$

$\Leftrightarrow (2xy+x+y)(x+y+2)\leq 2(x+y)(xy+x+y+1)$

$\Leftrightarrow 2xy(x+y)+(x+y)^2+4xy+2(x+y)\leq 2xy(x+y)+2(x+y)^2+2(x+y)$

$\Leftrightarrow 4xy\leq (x+y)^2\Leftrightarrow (x-y)^2\geq 0$

Bài 2: Cho $x, y \in \mathbb{R} ; x^2 + y^2 = xy + 3$
Tìm min, Max của $Q = \frac{1}{x^3 + y^3} + \frac{1}{xy}$

$x^2+y^2=xy+3\Leftrightarrow xy=\frac{(x+y)^2-3}{3}$. Thay vào biểu thức Q:
$Q=\frac{1}{(x+y)^3-3xy(x+y)}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{3(x+y)}+\frac{3}{(x+y)^2-3}$
 
Đặt $x+y=t$, xét hàm $f(t)=\frac{1}{3t}+\frac{3}{t^2-3}$
Ta có $xy=\frac{(x+y)^2-3}{3}\leq \frac{(x+y)^2}{4}$ với mọi $x\in \mathbb{R}\Rightarrow -2\sqrt{3}\leq x+y\leq 2\sqrt{3}$
Dựa vào bảng biến thiên của f(t) ta thấy f(t) không đạt GTLN và GTNN trên $[-2\sqrt{3},2\sqrt{3}]$
 
Lưu ý: Thực ra phương trình f'(t)=0 có nghiệm khá lẻ xấp xỉ -0.7
 
 

Bài 3: Cho $x, y \in \mathbb{R} ; x^2 + xy + y^2 = 3$
Tìm min, Max của $S = x^3 + y^3 - 3x - 3y$

$x^2+xy+y^2=3\Leftrightarrow xy=\frac{(x+y)^2}{3}$. Thế vào biểu thức S:
$S=(x+y)^3-3xy(x+y)-3(x+y)=-2(x+y)^3+6(x+y)$
 
Đặt $x+y=t$, xét hàm $f(t)=-2t^3+6t$.
Ta có $xy=(x+y)^2-3\leq \frac{(x+y)^2}{4}$ với mọi x, nên $-2\leq x+y\leq 2$
$f'(t)=-6t^2+6=0\Leftrightarrow t=\pm 1$
 
Dựa vào bảng biến thiên của hàm f(t) trên [-2, 2]:
- S đạt GTLN bằng 4, xảy ra khi và chỉ khi t = 1 hoặc t = -2, hay (x, y) = {(-1, -1); (-1, 2); (2, -1)}
- S đạt GTNN bằng -4, xảy ra khi và chỉ khi t = -1 hoặc t = 2, hay (x, y) = {(1, 1); (1, -2); (2, -1)}

1) Xét hàm số $f(x)=4\sqrt{x}-x^2$

$f'(x)=\frac{2}{\sqrt{x}}-2x=0\Leftrightarrow x=1$

Từ bảng biến thiên của hàm số f(x) ta thu được $f(x)\leq 3$ với mọi x>0

Vậy GTLN của A là 9, xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

 

2) $B\leq 2(a^2+b^2+c^2)-4(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})-3(a^2+b^2+c^2)=A$

Vậy GTLN của B là 9, xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

 

3) Theo câu 2:

$C=\frac{ab+bc+ca+2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}{a^2+b^2+c^2+3}\leq \frac{9+3(a^2+b^2+c^2)}{2(a^2+b^2+c^2+3)}=\frac{3}{2}$

Vậy GTLN của C là $\frac{3}{2}$, xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$.

$(a+b)(a+c)=4a^2\Rightarrow \left (1+\frac{b}{a}\right )\left (1+\frac{c}{a}\right )=4$

Đặt $x=\frac{b}{a}$, $y=\frac{c}{a}$, ta có $(1+x)(1+y)=4\Leftrightarrow x+y+xy=3$

 

$\Rightarrow P=4\left (\frac{x}{1+x}+\frac{y}{1+y}\right )+2xy-\sqrt{7-3xy}$

$\Rightarrow P=x+y+4xy-\sqrt{7-3xy}=3+3xy-\sqrt{7-3xy}$

 

Đặt $t=xy$. Theo AM-GM $3=x+y+xy\geq xy+2\sqrt{xy}\Rightarrow 1\geq t>0$

 

Xét hàm $f(t)=3+3t-\sqrt{7-3t}$.

Ta có $f'(t)=3+\frac{21}{2\sqrt{7-3t}}>0\Rightarrow $ f(t) đồng biến trong khoảng (0; 1], do đó $f(t)>f(0)=3-7\sqrt{7}$

 

Vậy P không tồn tại GTNN

 

bạn ơi mình chưa hiểu tại sao 

$xyz\geq (x+y-z)(x+z-y)(z+y-x)$

Chứng minh:

- Nếu $x+y-z<0\Rightarrow y+z-x>2y>0$ và $z+x-y>2x>0$

$\Rightarrow xyz>0>(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)$.

Tương tự cho các trường hợp $y+z-x<0$ và $z+x-y<0$

 

- Nếu $x+y-z\geq 0$, $y+z-x\geq 0$ và $z+x-y\geq 0$:

Theo AM-GM $\sqrt{(x+y-z)(y+z-x)}\leq y$

$\sqrt{(y+z-x)(z+x-y)}\leq z$

$\sqrt{(z+x-y)(x+y-z)}\leq x$

Nhân từng vế 3BĐT trên ta được $xyz\geq (x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)$

 

- Vậy BĐT đã cho đúng.

 

Nhận xét: Nếu khai triển ra thì đây là bđt Schur với n=1

$a^3+b^3+c^3+3abc\geq a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)$

Bài này nằm trong đề thi Olympic Toán Mỹ năm 1980.

 

Giả sử $x\geq y\geq z$. Ta có:

$3\sqrt[3]{(1-y)(1-z)(y+z+1)}\leq (1-y)+(1-z)+(y+z+1)=1$

$\Rightarrow (1-x)(1-y)(1-z)\leq \frac{1-x}{y+z+1}$

$\Rightarrow \frac{x}{y+z+1}+(1-x)(1-y)(1-z)\leq \frac{1}{y+z+1}$ (1)

 

Mặt khác $x\geq y\geq z$

$\Rightarrow \frac{y}{x+z+1}\leq \frac{y}{y+z+1}$ (2)

$\frac{z}{x+y+1}\leq \frac{z}{y+z+1}$ (3)

 

Từ (1), (2), (3)

$\Rightarrow \frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{z+x+1}+\frac{z}{x+y+1}+(1-x)(1-y)(1-z)\leq 1$

 

Vậy GTLN của P = 1, xảy ra $\Leftrightarrow (x,y,z)=(1,0,0)$ hoặc $(1,1,0)$ và các hoán vị

1) Trước hết ta chứng minh $\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}\leq2\frac{\frac{x+y}{2}}{\frac{x+y}{2}+1}$ với x, y > -1.

Sau khi biến đổi (với x, y > -1), bất đẳng thức trên tương đương với $(x-y)^2\geq0$.

 

Ta có:

$Q=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+4}$

$\leq2\frac{\frac{x+y}{2}}{\frac{x+y}{2}+1}+\frac{z}{z+4}=\frac{2z}{z-2}+\frac{z}{z+4}$

 

Ta có $x>-1$, $y>-1$ nên $z<2$.

 

Lập bảng biến thiên hàm  trong khoảng (-4,2), ta tìm được GTLN của Q là $\frac{1}{3}$, xảy ra $\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$, $z=-1$

Nếu bạn đã học khảo sát hàm số thì chỉ cần thay $y=1-x$ sau đó khảo sát vế trái là ra kết quả.

Nếu bạn chưa học khảo sát thì có thể chứng minh hai bđt sau bằng biến đổi tương đương

$3\sqrt{1+2x^2}\geq\frac{6}{\sqrt{11}}\left(x-\frac{1}{3}\right)+\sqrt{11}$

$2\sqrt{40+9y^2}\geq\frac{6}{\sqrt{11}}\left(y-\frac{2}{3}\right)+4\sqrt{11}$

cộng từng vế 2 bđt trên ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=\frac{1}{3}$, $y=\frac{2}{3}$

Xem file đính kèm (file ảnh)