lehoanghiep

Từ điều kiện bài toán, suy ra $\left ( a+b+c \right )^{2}=4\left ( ab+bc+ca \right )$.
Đặt $x=\frac{a}{a+b+c};y=\frac{b}{a+b+c};z=\frac{c}{a+b+c}$.
Khi đó, ta có $\left\{\begin{matrix} x+y+z=1 & \\ xy+yz+zx=\frac{1}{4}& \end{matrix}\right.$.$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y+z=1-x& \\ yz=\frac{1}{4}-x\left ( y+z \right )=x^{2}-x+\frac{1}{4}& \end{matrix}\right.$.
Suy ra $\left ( x-1 \right )^{2}\geq 4\left ( x^{2}-x+\frac{1}{4} \right )\Leftrightarrow 0\leq x\leq \frac{2}{3}$.
Ta có
$P=x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x=\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )\left ( x+y+z \right )-x^{2}\left ( 1-x \right )-y^{2}\left ( 1-y \right )-z^{2}\left ( 1-z \right )$$=x^{3}+y^{3}+z^{3}=x^{3}+\left ( 1-x \right )\left ( \left ( 1-x \right )^{2}-3\left ( \frac{1}{4}-x\left (1-x \right ) \right ) \right )$$=3x^{3}-3x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}$.
Từ đây, khảo sát hàm $f\left ( x \right )=3x^{3}-3x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}$ với $x\in \left [ 0;\frac{2}{3} \right ]$ ta được đpcm.

Lấy logarit nê-pe của hai vế ta được :
$$\ln P=\frac{1}{n} \left ( \ln \left ( \sin A \right )+\ln \left ( \sin B \right )+\ln \left ( \sin C \right ) \right )$$

$ln\left ( xyz \right )=lnx+lny+lnz \left ( x,y,z>0 \right )$ em à.

Bài toán 21. Cho các số thực dương $a, b, c$ đôi một khác nhau thỏa mãn $2a\leq c$ và $ab+bc=2c^{2}$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$P=\frac{a}{a-b}+\frac{b}{b-c}+\frac{c}{c-a}$.

Bài này thì tiếp tuyến là được :

Xét hàm $f\left ( t \right )=\frac{18t-35}{t^2-4t+6}$ với $t \in \left ( -\infty ;3 \right ]$

Ta chứng minh $f\left (t \right )\geq \frac{20t-71}{9}$ $\left ( * \right )$, điều này tương đương với : $\frac{18t-35}{t^2-4t+6}\geq \frac{20t-71}{9}$

$\Leftrightarrow \left ( t-1 \right )^2.\left (20t-111 \right )\leq 0$ luôn đúng $\forall t \in \left ( -\infty;3 \right ]$, như vậy $\left ( * \right )$ được chứng minh.

Áp dụng đánh giá $\left ( * \right )$ vào bài toán ta được :
$$\frac{18a-35}{t^2-4t+6}+\frac{18a-35}{t^2-4t+6}+\frac{18a-35}{t^2-4t+6}\geq \frac{20(a+b+c)-213}{9}=-17$$
Vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$.

Sao lại có tập $\left (-\infty ;3\right ]$ vậy em?

Bài toán 1. Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $\frac{4}{5}b\geq a-c\geq \frac{3}{5}b$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$P=\frac{12\left ( a-b \right )}{c}+\frac{12\left ( b-c \right )}{a}+\frac{25\left ( c-a \right )}{b}$.

Tự chém tự vác vậy
Ta có $Q=49-P=\frac{12\left ( b+c-a \right )}{c}+\frac{12\left ( c+a-b \right )}{a}+\frac{25\left ( a+b-c \right )}{b}$.
Đặt $\left\{\begin{matrix} 2x=b+c-a & \\ 2y=c+a-b & \\ 2z=a+b-c & \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=y+z & \\ b=z+x & \\ c=x+y & \end{matrix}\right.$.
Vì $\frac{4}{5}b\geq a-c\geq \frac{3}{5}b$ hay $a\leq \frac{4}{5}b+c<b+c$ nên $0<4x\leq z\leq 9x$.
Xét $Q\left ( y \right )=\frac{24x}{x+y}+\frac{24z}{y+z}+\frac{50x}{x+z}$.
Ta có $Q'\left ( y \right )=\frac{24\left ( z-x \right )\left ( y^{2}-zx \right )}{\left ( x+y \right )^{2}\left ( y+z \right )^{2}}$; $Q'\left ( y \right )=0\Leftrightarrow y=\pm \sqrt{zx}$.
Dễ thấy khi $y\rightarrow -\infty$ thì $\left\{\begin{matrix} \frac{24x}{x+y}>0 & \\ \frac{24z}{z+y}\rightarrow 24^{+}& \\ \frac{50x}{z+x}=\frac{50}{1+\frac{z}{x}}\geq 40& \end{matrix}\right.\Rightarrow Q>64$.
Do đó ta chỉ cần xét $Q\left ( \sqrt{zx} \right )=\frac{48\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{z}}+\frac{50z}{z+x}=\frac{48t}{t+1}+\frac{50}{t^{2}+1}$ với $t=\sqrt{\frac{x}{z}},t\in \left [ \frac{1}{3};\frac{1}{2} \right ]$.
(để tìm $minQ$ )
$f'\left ( t \right )=\frac{48t^{4}-100t^{3}-104t^{2}-100t+48}{\left ( t+1 \right )^{2}\left ( t^{2}+1 \right )^{2}}; f'\left ( t \right )=0\Leftrightarrow 12\left ( t+\frac{1}{t} \right )^{2}-25\left ( t+\frac{1}{t} \right )-50=0\Leftrightarrow t+\frac{1}{t}=\frac{10}{3}\Leftrightarrow t=\frac{1}{3}$.
Ta thấy $f\left ( \frac{1}{2} \right )=56; f\left ( \frac{1}{3} \right )=57$.
Suy ra $Q\geq 56$$\Rightarrow P\leq -7$.
Đẳng thức xảy ra khi $a=2c,3b=5c$.
Vậy $P_{max}=-7$.