PTH_Thái Hà

Cho $a,b,c\ge 0; a+b+c=1$
Tìm min, max của biểu thức
$$P = a{\left( {b - c} \right)^3} + b{\left( {c - a} \right)^3} + c{\left( {b - a} \right)^3}$$

Bài 1 (5đ):
Tìm tất cả các hàm số $f\left( x \right) $ xác định trên tập số thực R và thỏa mãn:
$$f\left( {y - f\left( x \right)} \right) = f\left( {{x^{2012}} - y} \right) - 2011yf\left( x \right)$$

Bài 2 (4đ):
Cho dãy số thực $\left( {{x_n}} \right)$ thỏa mãn $\[{x_1} = \dfrac{1}{6};{x_{n + 1}} = \dfrac{{3{x_n}}}{{2{x_n} + 1}}$ với n nguyên dương
a. Chứng minh dãy số trên có giới hạn và tính giới hạn đó
b. Tìm số hạng tổng quát của dãy số đã cho

Bài 3 (3đ):
Tìm tất cả các cặp số nguyên $(a;b)$ sao cho $3^a+7^b$ là số chính phương

Bài 4 (5đ):
Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn $(0)$. Gọi P, Q, R theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của D trên các đường thẳng BC, CA, AB.
a. Chứng minh 3 điểm P,Q,R thẳng hàng.
b. Chứng minh rằng QP=QR khi và chỉ khi phân giác của góc $\angle ABC$ và $\[\angle ADC $ cắt nhau tại 1 điểm thuộc AC

Bài 5 (3đ):
Một dãy ${a_1}{a_2}{a_3}...{a_n}$ với $\[{a_i} \in \left\{ {0,1} \right\},i = 1,2,3,...,n $ được gọi là 1 xâu nhị phân có độ dài n. Có bao nhiêu xâu nhị phân độ dài n ( n>3) chứa đúng 2 lần xuất hiện của 01

Đếm các bộ 13 trong 52 lá bài tú lơ khơ sao cho có đúng 1 tứ quý

Tính:
$\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{3}} {\dfrac{{x{{\sin }^4}x}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}}} dx $

Tìm $ n $ để phân thức sau tối giản

$ P = \dfrac {4n^2+7n+3} {3n+1} $