hoa_giot_tuyet

Cho x,y,z > 0 thỏa mãn $x \geqslant y \geqslant z$

Chứng minh bất đẳng thức

 

$x\sqrt{x^2-xy+y^2}+y\sqrt{x^2-xz+z^2}+z\sqrt{y^2-yz+z^2} \geq x^2 + y^2 + z^2$

Tìm số tự nhiên n sao cho $2^n$ và $5^n$ khi đứng cạnh nhau tạo thành số tự nhiên có 2012 chữ số.

Đặt $2^n$ có a chữ số, $5^n$ có b chữ số
$\Rightarrow a + b = 2012$

$10^{a-1} < 2^n < 10^a$
$10^{b-1} < 5^n < 10^b$
$\Rightarrow 10^{a-1+b-1} < 2^n.5^n < 10^{a+b}$
$\Rightarrow 10^{2010} < 10^n < 10^{2012}$

nên n = 2011

1. Họ và tên: Võ Phương Nga
2. Nick trên Diễn đàn: hoa_giot_tuyet
3. Ngày sinh: 19/05/1997
4. Nghề nghiệp: Hs
5. Địa chỉ nhà: (BQT sẽ gửi giấy mời về cho bạn theo địa chỉ này) k cần ạ ^^
6. Mail/ Số điện thoại liên lạc: email [email protected]
7. Địa điểm đăng kí tham gia: Đà Nẵng
8. Bạn có muốn tham gia vào BTC không: Không
9. Ý kiến đóng góp. Mong buổi đi off đi chơi đc nhìu nơi Mà chắc sợ k quen ai nên e k dám đi

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} = 2 \Rightarrow 1-\frac{1}{x}+1-\frac{1}{y}+1-\frac{1}{z}=1$
$\Rightarrow \frac{x-1}{x} + \frac{y-1}{y} + \frac{z-1}{z} = 1$

Bunia

$( \frac{x-1}{x} + \frac{y-1}{y} + \frac{z-1}{z} )(x+y+z) \geq (\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1})^2$

$\Rightarrow \sqrt{x+y+z} \geq \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}$

=> dpcm

Thử thay 1 bộ số vào thử là bik ngay sai đề mà bạn

Bài này thiếu đk x+y+z=a rồi

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} = \frac{1}{a} \Rightarrow \frac{xy+yz+zx}{xyz} = \frac{1}{a}$

$\Rightarrow xy+yz+zx = \frac{xyz}{a}$

Xét $(x-a)(y-a)(z-a) = (xy-xa-ay+a^2)(z-a) = xyz-a(xy+yz+zx)+a^2(x+y+z) -a^3$
$=xyz-a.\frac{xyz}{a}+a^3-a^3 = 0$

Suy ra đpcm

Bài 1:Cho đa thức f(x)= $ax^{2}+bx+c$. C/m rằng nếu | f(x)| $\leq$ h với mọi $x \in [-1;1]$ thì
|a| + |b| + |c| $ \leq$ 4h

|f(1)| = |a+b+c| $\leq$ h
|f(-1)| = |a-b+c| $\leq$ h
|f(0)| = |c| $ \leq $ h

Áp dụng tính chất |a| + |b| $\geq$ |a+b|
2h $\geq$ |a+b+c| + |-a+b-c| $\geq$ |2b|
$\Rightarrow$ |b| $\leq$ h

Tiếp tục
2h $\geq$ |a+b+c|+|-c| $\geq$ |a+b|
2h $\geq$ |a-b+c|+|-c| $\geq$ |a-b|
$\Rightarrow$ 4h $\geq $ |a+b| + |a-b| $\geq$ |2a|
$\Rightarrow$ |a| $\leq $ 2h
Cộng lại là được.
p/s: lâu k gõ talex chậm qá cái tex nó sao zậy chời ( mod nào sửa giùm nhá

hô hô cái đề dễ quá làm cho nhanh ngồi chơi mà sai hết =))


câu 1 ko có máy tính thành -16/3 =))

câu 2 thì P âm mà ko thấy

=))

Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp là (I, r) với A', B', C' theo thứ tự là các tiếp điểm trên các cạnh BC, CA, AB.
Kí hiệu góc BCA là C. Chứng minh: $2r=(BC+CA-AB)tg\frac{C}{2}$
Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định 2007

Câu này thật ra không khó mọi người thừ làm nhé

Bài này hình dễ, mọi ng` tự vẽ nhé )

CB' = CA - AB'
CA' = BC-BA'
=> CB'+CA' = CA+BC-(AB'+BA')
hay 2CB' = CA+BC-AB
Xét tam giác IBC' vuông tại B' thì $r = CB'.tan\frac{C}{2}$
=> đpcm

Bài 3. (4,0 điểm)

1. Cho 4 số $a, b, c, d$ thoả điều kiện $a + b + c + d = 2$. Chứng minh: ${a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} \ge 1$
2. Cho và ${a^3} - 3{a^2} + 3a(m + 1) - {(m + 1)^2} = 0$. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của $a$.

Bài 5. (5,0 điểm)

Cho tam giác ABC có các phân giác trong của các góc nhọn $\widehat {BAC,}\widehat {ACB},\widehat {CBA}$ theo thứ tự cắt các cạnh đối tại các điểm $M, P, N$. Đặt $a =BC, b =CA, c =AB;$ ${S_{\Delta MNP}},{S_{\Delta ABC}}$ theo thứ tự là diện tích của tam giác $MNP$ và $ABC$.
1. Chứng minh rằng: $\frac{{{S_{\Delta MNP}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{2abc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}$
2. Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của $\frac{{{S_{\Delta MNP}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}}$

Bài 3 a) Dùng Bunyakovsky là đc còn câu b hình như thiếu đk gì đó chị ơi

Câu hình ngon ơ (ko bik cái đề tỉnh mik câu hình có ngon đc thế này ko)
Ta chứng minh $\frac{S_{APN}}{S_{ABC}} = \frac{AP.AN}{AB.AC}$
Có thể c/m cái này bằng cách kẻ thêm đường cao hoặc công thức diện tích 2 cạnh nhân vs cosA
Ngoài ra lại có AM,BN,CP phân giác nên ta có
$\frac{AP}{b} = \frac{BP}{a} = \frac{c}{a+b}$

$\frac{AN}{c} = \frac{CN}{a} = \frac{b}{a+c}$

$\frac{BM}{b} = \frac{CM}{b} = \frac{a}{b+c}$

Suy ra $\frac{S_{APN}}{S_{ABC}} = \frac{bc}{(a+b)(a+c)}$

$\frac{S_{BPM}}{S_{ABC}} = \frac{ac}{(a+b)(b+c)}$

$\frac{S_{CMN}}{S_{ABC}} = \frac{ab}{(a+c)(a+c)}$

=> $\frac{S_{PMN}}{S_{ABC}} = ... = \frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

b) $(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc$

$\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \leq \frac{2abc}{8abc} = \frac{1}{4}$

Dầu bằng khi a=b=c

Tặng mọi người bài này

Cho $a,b,c,x,y,z \in \mathbb{R}$ sao cho $ax + by + cz = 0$ và $a+b+c = \dfrac{1}{2011}$. Tính giá trị của
$$P = \dfrac{{a{x^2} + b{y^2} + c{z^2}}}{{bc{{(y - z)}^2} + ac{{(x - z)}^2} + ab{{(x - y)}^2}}}$$

$(ax+by+cz) = 0 \Rightarrow a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2 = -2(axby+bycz+axcz)$
Xét mẫu
$(bc(y-z)^2+ac(x-z)^2+ab(x-y)^2 $ $=bcy^2+bcz^2+acx^2+acz^2+abx^2+aby^2+a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2) $
$= a(cz^2+by^2+ax^2)+b(cz^2+ax^2+by^2)+c(by^2+ax^2+cz^2)$
$ = (ax^2+by^2+cz^2)(a+b+c)$

$\Rightarrow \dfrac{ax^2+by^2+cz^2}{(bc(y-z)^2+ac(x-z)^2+ab(x-y)^2} = \dfrac{1}{a+b+c} = 2011$

Cho tam giác ABC cân tại A. Trung tuyến AH ,phân giác BD (H thuộc BC,D thuộc AC).Tính các góc của tam giác ABC biết AH=BD/2
Vì không có hình nên mọi người chịu khó giúp mình tí
Cảm ơn nhiều

Đặt $\widehat{BAC} = 2\alpha$
$\Rightarrow \widehat{ABC} = \widehat{ACB} = 90^o - \alpha$
$\Rightarrow \widehat{ABD} = \widehat{CBD} = \dfrac{90^o-\alpha}{2}$
Gọi M là trung điểm AB thì HM // AC.
Gọi K là giao điểm BD và HM thì suy ra K là trung điểm BD. Do đó KD = AH
$\Rightarrow \widehat{BDA} = \widehat{HAC} = \alpha$
Lại có $\widehat{BDA} = \widehat{CBD} + \widehat{ACB} = \dfrac{901^o-\alpha}{2} + 90^o-\alpha$
=> $\alpha = \dfrac{3(90-\alpha}{2}$
Suy ra đc $\alpha = 54^o$

a) OA=OB=OC = 1/2AB $\Rightarrow$ tgABC vuông tại C
tgAOC đều $\Rightarrow \widehat{OCB} = 30^o$
Kẻ OH' vuông góc với BC thì $CH' = cos 30^o. R = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$
\Rightarrow BC = \sqrt{3}$
b) OC = OD => tgOCD cân tại O, Oh là đường cao nên cũng là phân giác => đpcm
c) C/m tgCOM = tgDOM => góc CMO = DMO
Lại có góc MCA = 90 - 60 = 30 độ, tgAOC đều => ACH = 30 => MCA = ACH
=> A là giao 3 đường phân giác
d) ta có AM = 2 AH nên để c/m đẳng thức trên cần c/m BM = 2BH
Cái này dễ bạ nhìn là ra liền à

Hay quá!Anh giỏi hình thật....Tiếp theo là các bài có vẻ đơn giản hơn,mong anh giúp!
1)Cho $\triangle ABC$ có O là tâm đường tròn nội tiếp,vẽ $AI\perp BO$,và AI cắt BC ở H.Chứng minh: AOHC nội tiếp
2)Cho $\triangle đều ABC$,E là điểm trên cạnh AC,vẽ $EF\perp AB$.Đường vuông góc với BC tại C cắt EF ở D.Tính các góc $\triangle BKD$
3)$\triangle ABC$ nội tiếp trong đường tròn tâm (O).Tiếp tuyến A và B của đường tròn cắt nhau ở P.PC cắt AB ở K.Chứng minh: $\dfrac{AC^2}{BC^2}=\dfrac{AK}{BK}$

Bài 1.
http://nf1.upanh.com...37597691.hu.bmp
O là giao điểm 3 đường phân giác nên ta có $\widehat{ABO} + \widehat{BAO} + \widehat{OCB} = 90^o$
Xét tam giác AOI có $\widehat{AOI} = \widehat{ABO} + \widehat{BAO}$
Suy ra $\widehat{AOI} = 90^o - (\widehat{ABO} + \widehat{BAO}) = \widehat{OCB}$
=> tứ giác AOHC nội tiếp
Bài 2 K ở đâu?
p/s: cái định dạng file ảnh k tải đc @@

Hê lô mọi người, hôm nay mình lập topic này mong mọi người cùng suy nghĩ và giải nha!!!

Bài 1: Cho \[x = \sqrt[3]{{17 + 12\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{17 - 12\sqrt 2 }}{\rm{ ; y = }}\sqrt[3]{{3 + 2\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{3 - 2\sqrt 2 }}\]
a, Tính \[P = {({y^3} - 3y - 5)^{2010}}{\rm{ ; Q = }}{{\rm{x}}^3} + {y^3} - 3(x + y) - 2010\]
b, CMR y là số vô tỷ và \[{y^8} > {3^6}\]

Ta có
$$x^3 = 34 + 3\sqrt[3]{17^2-(12\sqrt{2})^2}x = 34 + 3x $$
$$y^3 = 6 + 2\sqrt[3]{3^2-(2\sqrt{2})^2}y = 6+3y$$
$$\Rightarrow y^3 - 3y - 5 = 1 \Rightarrow P = 1$$
$$Q = 34+6-2010=-1970$$

Mik cho thêm 1 số bài nhé
1/ C/m$$\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4+...+\sqrt{4}}}} <3$$
2. C/m$$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3\sqrt{2}} + \dfrac{1}{4\sqrt{3}} + ... + \dfrac{1}{2009\sqrt{2008}} < 2$$