Đến nội dung

NightBaron

NightBaron

Đăng ký: 19-08-2010
Offline Đăng nhập: 24-01-2012 - 16:38
*****

Trong chủ đề: Tổng quát IMO 1988

10-06-2011 - 09:34

Nếu $a,b,n \in \mathbb{N}^+, \quad n \ge 2$
CMR $(k = \dfrac{a^n+b^n}{(ab)^{n-1}+1} \in \mathbb{N}) \Rightarrow \exists c \in \mathbb{N} \; (k = c^n)$
[/quote]

Có thể làm như sau:

Khi $ a = b, \; k=\dfrac{a^n+b^n}{(ab)^{n-1}+1}} \in \mathbb{N}^+ \Rightarrow a=b=k=1^n$

Giả sử rằng pt có nghiệm, do tính chất đối xứng của $a,b$ ta giả sử rằng $a<b$.

Ta có:

$k = \dfrac{a^n+b^n}{(ab)^{n-1}+1}$

$\Leftrightarrow a^n-k=(ka^{n-1}-b)b^{n-1}$

1.1 Nếu $k > a^n\Rightarrow k > k-a^n = b^{n-1} (b-ka^{n-1}) \ge b^{n-1}$

Do đó có:

$b > ka^{n-1} \ge k > b^{n-1}$

Mâu thuẫn!


1.2 Nếu $k < a^n\Rightarrow ka^{n-1}-b = \dfrac{a^n-k}{b^{n-1}}}<\dfrac{a^n}{a^{n-1}}=a $

$\Rightarrow ka^{n-1} < a+b$

$\Leftrightarrow (k-1)a^{n-1} < a+b - a^{n-1} \le b$

Do đó:

$ \forall k > 1 \Rightarrow a^{n-1} \le (k-1)a^{n-1} < b $

$ \Rightarrow a^n-k = (ka^{n-1}-b)b^{n-1} \ge b^{n-1} > \ge a^n$

Mâu thuẫn!

Vậy suy ra: $k=1^n$.

1.3 Nếu: $k = a^n$ dễ thấy dpcm!

Trong chủ đề: Bất đẳng thức khó

08-05-2011 - 20:30

Minh thấy cách cm của cậu hơi dài Cậu xem thấy lời giải này thế nào nhé
$VT = \dfrac{{5c + a}}{{a + b}} + 3 + \dfrac{{8a + 4c}}{{b + c}} + 6 + \dfrac{{9b + 3c}}{{b + c}} + 12 \ge 36$
$VT = (4a + 3b + 5c)(\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{2}{{b + c}} + \dfrac{3}{{a + c}})$
Áp dụng BDT cộng mẫu
$VT \ge (4a + 3b + 5c)(\dfrac{{36}}{{4a + 3b + 5c}}) \ge 36$


khi nao may to sua chua xong t se noi them ve pp nay (1 kieu can bang he so). . .

Trong chủ đề: Chúc mừng VMF

07-05-2011 - 21:21

Chưa thể nói như thế được. Mình thấy vẫn còn nhiều điều chưa tốt về forum lắm nhưng không tiện nói ra. Dù sao với những thay đổi mới này chúng ta có quyền hy vọng vào một thế hệ mới, một "version" mới của VMF. Mình vốn là một cựu mod của VMF, giờ xin chúc các new mod hoàn thành tốt nhiệm vụ của mình và giúp VMF đi lên.


Vai nam nua, khi cac ban THCS lon la dd ta manh ngay thoi... bi gio cac e y con be qua... .hi

Chi tiec minh ko nhin thay co vu tuyen chon mod neu ko se xin 1 suat.

Trong chủ đề: QUA KHO. HELP ME

07-05-2011 - 20:51

bài 1: Trong mp Oxy cho tam giac ABC biết A(0,4); B(-2,-2); C(2,-2). viết phương trình dt (d) sao cho tổng bình phương các khoảng cách từ đỉnh A,B,C đến đường thẳng (d) là nhỏ nhất.


g/s: $d: ax+by+1=0$. Khi sdo bai toan chuyen ve bai toan sdau:

tim a,b de bt sau min:

$P=\dfrac{(4b+1)^2+(-2a-2b+1)^2+(2a-2b+1)^2}{a^2+b^2}$.

Dieu nay bao gio cung lam dk (khao sat theo tung bien).

Trong chủ đề: Tìm hàm thỏa f(x)=f(3x)

07-05-2011 - 20:26

Cho f : R -> R
liên tục tại 0 và
f(x) = f(3x) với mọi x thuộc R
Tìm hàm số đó


Có:
$f(x)=f(\dfrac{x}{3})=f(\dfrac{x}{3^2})=.....=f(\dfrac{x}{3^n})=...$

do $f$ liên tục suy ra $f(x)=\lim_{n\to\infty} f(\dfrac{x}{3^n})=f(\lim_{n\to \infty}\dfrac{x}{3^n})=f(0)$

$\Rightarrow f(x)=f(0)$