caodattoanvip

Cho tam giác$ ABC $vuông tại $A$ có đường cao $AA'$. Gọi $H,K$ lần lượt là chân các đương vuông góc hạ từ $A'$ xuống các cạnh $AB,AC$. Đặt $A'B=x,A'C=y$. Gọi $r,r' $lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ và tam giác $AHK$.

a) Tính tỉ số $\dfrac{r}{{r'}}$ theo $x,y$ suy ra giá trị lớn nhất của tỉ số này.

b) Chứng minh tứ giác$ BHCK $nội tiếp được . Tính theo $x,y$ độ dài của bán kính đương tròn ngoại tiếp tứ giác $BHKC.$

Giải PT:


$ \sqrt {\dfrac{{1 + 2x\sqrt {1 - x^2 } }}{2}} + 2x^2 = 1$

Giải PT:

$ 8x(1 - 2x^2 )(8x^4 - 8x^2 + 1) = 1$

Cho $a,b,c>0$ sao cho $ab+bc+ca=abc $. Chứng Minh:

a) $\dfrac{{a^4 + b^4 }}{{ab(a^3 + b^3 )}} + \dfrac{{b^4 + c^4 }}{{bc(b^3 + c^3 )}} + \dfrac{{c^4 + a^4 }}{{ca(c^3 + a^3 )}} \ge 1$


b) $\dfrac{{\sqrt {a^2 + 2b^2 } }}{{ab}} + \dfrac{{\sqrt {b^2 + 2c^2 } }}{{bc}} + \dfrac{{\sqrt {c^2 + 2a^2 } }}{{ca}} \ge \sqrt 3$

Giải PT:

$ 3x(x + 1)(2x^2 - 1) = \dfrac{1}{x}$